CHAPTER 07 / SECTION 03

7.3 다음 날 위험과 충격의 지속성 추정하기

GARCH와 HAR로 조건부 위험을 추정하고 충격의 지속성과 비대칭을 해석합니다.

7장. Model-Based Feature Extraction(모델 기반 특성 추출)초급 학습 노트

관측한 흔들림과 다음 날의 위험을 구분한다

어제까지 조용했던 시장에서 오늘 예상 밖의 3% 하락이 나왔다. 지난 한 달의 변동폭 평균은 하루치가 추가된 만큼만 바뀐다. 연구자가 내일 주문 크기를 정할 때는 최근 충격이 평소보다 얼마나 크고, 이런 충격이 얼마나 오래 남는지도 필요하다. Conditional Volatility(조건부 변동성)는 지금까지의 정보를 바탕으로 다음 관측의 흔들림을 추정한 값이다.

직접 구하는 Realized Volatility(실현변동성)는 장중 수익률 제곱을 더한 뒤 제곱근을 취하는 방식 등으로 이미 일어난 변화를 측정한다. 종가만 쓰거나 Parkinson(파킨슨), Garman–Klass(가먼–클래스), Yang–Zhang(양–장)처럼 고가·저가와 시가를 이용해 대리값을 만들 수도 있다. 적합 모형은 이 기록이나 수익률에서 위험이 다음 시점으로 이어지는 방식을 추정한다.

평균에서 예상했던 부분을 먼저 걷어 낸다

펀딩 금리가 며칠씩 높은 상태를 유지한다면, 지난 값으로 오늘 금리를 어느 정도 예상할 수 있다. Autoregressive Integrated Moving Average(자기회귀 통합 이동평균, ARIMA)는 과거 값, 필요한 차분, 과거 예측 오차를 이용해 이 관계를 추정한다. ARIMA(1,0,1)은 과거 값 한 시차와 오차 한 시차를 쓰고 차분은 하지 않는다. 여기서 이동평균 부분은 가격의 단순 평균이 아니라 과거 오차를 반영하는 부분이다.

수익률을 +0.2%로 예상했는데 실제로 −2.8%였다면 Residual(잔차)은 −3.0%포인트다. 위험 모형에 이 잔차를 넣으면 이미 예상한 움직임보다 예상 밖 충격에 초점을 맞춘다. 유동성이 높은 자산의 일일 수익률 평균은 예측하기 어려워 복잡한 차수의 이점이 작을 수 있다. 반면 실현변동성, 호가 차이, 펀딩 금리, 선물과 현물의 가격 차이에는 한 시점 앞 예측 자체가 유용할 수 있다. 안정적인 입력에는 낮은 차수부터 비교하고, 차수 선택 기준도 매 학습창에서만 적용한다.

충격을 받은 위험이 얼마나 오래 남는지 계산한다

Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity(일반화 자기회귀 조건부 이분산, GARCH)는 다음 시점의 분산을 기본값, 최근 충격, 직전 분산으로 나눈다. 수익률을 % 단위로 넣었다면 분산은 %포인트 제곱 단위이고, 이를 제곱근으로 바꾼 값이 하루 조건부 변동성이다.

\sigma_{t+1}^2=\omega+\alpha\epsilon_t^2+\beta\sigma_t^2

$t$: Time Index(관측 시점); 거래일 번호
$\sigma_{t+1}^2,\sigma_t^2$: Conditional Variance(다음 거래일과 당일의 조건부 분산); %포인트 제곱
$\omega$: Intercept(분산의 기본 항); %포인트 제곱
$\epsilon_t$: Innovation(당일 예상 밖 수익률); %포인트
$\alpha,\beta$: Shock and Variance Coefficients(충격과 직전 분산의 반영 계수); 단위 없음

기본 항을 0.03, 충격 계수를 0.17, 이전 분산 계수를 0.80으로 두자. 오늘 분산이 1이고 잔차가 −3%포인트면 다음 날 분산은 2.36, 변동성은 약 1.54%다. 잔차가 +3%포인트여도 제곱이 9라 같은 값이다.

\begin{aligned} 0.03+0.17\times(-3)^2+0.80\times1 &= 2.36\ \text{(\%포인트)}^2 \\ \sqrt{2.36} &\approx 1.54\% \end{aligned}

미래 충격의 제곱은 조건부로 해당 시점 분산만큼일 것으로 예상하므로, 장기 평균에서 벗어난 분산이 기대값 기준으로 한 시점마다 $\alpha+\beta$ 배 남는다. 이 합이 Persistence(지속성)다. SPY의 한 적합에서 합은 0.97이었다. 분산의 초과분이 절반이 되는 Shock Half-Life(충격 반감기)는 약 23거래일이다.

\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.97)}\approx22.8\ \text{거래일}

지속성 0.97일 때 분산 충격이 남는 비율

초기 초과 분산 대비(%)

기대 초과 분산절반 기준

반올림한 값이다. 23거래일쯤 지나 첫 충격의 절반이 남으며, 실제 경로에는 새 충격이 더해질 수 있다.

합이 1 미만이고 분산이 안정적인 모형에서는 기본 항을 $1-\alpha-\beta$ 로 나눠 장기 분산을 구한다. 예시에서는 0.03을 0.03으로 나눈 1 %포인트 제곱이다. 합이 1 이상이면 이 식을 장기 분산으로 해석하지 않는다. Integrated GARCH(통합 GARCH)는 합이 정확히 1인 경우다. 적합 전에 제곱 잔차가 시차를 따라 몰리는지 ARCH Effect(조건부 분산 의존성) 검정으로 살피고, 적합 후에도 표준화 잔차에 그런 관계가 남는지 점검한다.

같은 크기의 상승과 하락에 다르게 반응한다

Exponential GARCH(지수형 GARCH, EGARCH)는 분산의 로그를 모델링한다. 잔차를 그날의 조건부 표준편차로 나눈 뒤 절댓값과 부호가 있는 값을 각각 넣는다. 예를 들어 표준화 충격이 +2와 −2라면 절댓값 항은 같지만, 부호 항의 계수가 −0.1일 때 기여분은 각각 −0.2와 +0.2다. 다른 항이 같으면 하락 뒤 로그 분산이 0.4만큼 더 높다. 이처럼 하락에 위험이 더 크게 반응하는 패턴을 Leverage Effect(레버리지 효과)라고 부른다. 이 계수만으로 차입이 원인이라고 판단하지 않는다.

Glosten–Jagannathan–Runkle GARCH(GJR 비대칭 GARCH)는 음의 충격일 때만 잔차 제곱에 추가 항을 붙인다. 두 모형 모두 방향에 따른 차이를 저장할 수 있다. 같은 학습·평가 기간에서 어느 쪽이 다음 위험을 더 잘 설명하는지 보고, 비대칭이 안정적으로 재현될 때 조건 변수로 쓴다.

오늘의 요동과 한 달간의 요동을 구분한다

오늘만 크게 흔들린 종목과 한 달 내내 흔들린 종목의 내일 위험은 다를 수 있다. Heterogeneous Autoregressive Model(이질적 자기회귀 모형, HAR)은 오늘 실현변동성, 최근 5거래일 평균, 최근 22거래일 평균을 각각 넣어 다음 날 값을 맞춘다. 예를 들어 각 입력이 3%, 2%, 1%이고 계수가 0.2, 0.4, 0.3, 절편이 0.1%포인트라면 다음 날 예측은 다음과 같다.

0.1+0.2\times3+0.4\times2+0.3\times1=1.8\%

HAR 예측 1.8%를 구성하는 네 가지 기여분

절편0.1%p

당일0.6%p

주간0.8%p

월간0.3%p

이날은 주간 기여분이 가장 크다. 당일 변동성이 더 올라가면 계수를 유지해도 당일 기여분은 달라진다.

계수는 다른 두 입력을 둔 채 해당 입력이 한 단위 변할 때의 반응이고, 오늘의 예측에 얼마를 보탰는지는 계수와 입력을 곱해야 알 수 있다. 창들이 서로 겹치므로 계수를 독립된 원인으로 해석하지 않는다. 장중 기록이 없으면 일별 고저폭 기반 대리값을 사용할 수 있지만 예측 대상으로 쓴 변동성의 정의를 맞춰야 한다.

SPY 비교에서는 주간 계수가 약 0.43으로 가장 컸다. 같은 표본 외 평가에서 Root Mean Squared Error(평균제곱근오차, RMSE)는 HAR 0.061, GARCH 0.111이었다. 예측과 관측의 차이를 제곱해 평균한 뒤 제곱근을 내므로 큰 오차에 더 민감하다. 아래 값은 해당 평가 척도에서의 오차이며, 낮을수록 관측값에 가까웠다.

SPY 변동성 예측의 표본 외 오차 비교

HAR0.061

GARCH0.111

두 막대는 같은 RMSE 척도다. 이 평가에서 HAR 오차가 작았으며 다른 자산이나 기간의 우위를 보장하지 않는다.

계수를 다시 맞추는 날과 값을 갱신하는 날은 다르다

매일 장 마감 뒤 GARCH 분산을 갱신할 때는 지난번 적합한 계수에 새 잔차를 넣으면 된다. HAR도 새 실현변동성을 추가하고 일·주·월 평균을 다시 계산할 수 있다. 계수 재추정은 더 많은 계산과 자료가 필요하므로 GARCH와 EGARCH는 주간이나 월간, HAR은 계수 안정성에 맞춘 일정에서 시작한다. 확률적 변동성 모형을 표본 추출로 적합하면 월간이나 그보다 드물게 재적합하고 그사이 필터로 상태를 갱신할 수 있다. 종목 수가 많으면 야간에 계수를 적합하고 다음 날 관측이 들어오는 대로 출력한다. 지수 평활은 더 싼 대안이지만 충격과 지속성을 따로 해석하기 어렵다. 검증에도 실제 운영과 같은 갱신 시점과 계산 지연을 적용한다.

위험의 수준은 오래가도 하루 변화는 거칠 수 있다

한 달 동안 변동성이 평소보다 높았지만 매일 조금씩 내려온 것은 아닐 수 있다. 높은 수준 안에서 급등과 반락이 반복된다. Rough Volatility(거친 변동성)는 이런 짧은 시간의 불규칙성을 설명한다. Hurst Exponent(허스트 지수, $H$ )는 관측 간격을 바꿀 때 변화 폭이 얼마나 달라지는지 요약한다. 브라운 운동의 기준은 0.5다. 해당 모형 해석에서 0.5보다 크면 변화의 방향이 이어지는 경향, 작으면 짧은 변화가 반대 방향으로 되돌아가는 경향이 강하다.

SPY 사례에서 수익률 경로에 대한 추정은 0.5 부근인 반면 로그 변동성에서는 방법에 따라 0.12~0.23이었다. Rescaled Range(재척도 범위)는 누적 편차의 범위를 표준편차로 나눠 창 길이별 변화를 보고, Detrended Fluctuation Analysis(추세 제거 변동 분석)는 구간별 추세를 덜어 낸 뒤 스케일을 비교한다. 추정법과 기간에 따라 값이 달라지므로 252거래일 창을 주 단위로 갱신하는 식으로 느리게 해석한다. 값이 낮아도 위험 수준이 곧 평소로 돌아간다는 뜻은 아니다. 매끄러운 위험 모형이 짧은 급등락을 놓칠 수 있다는 보조 단서다.

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