13.8 공분산 축소와 헤지로 추정 오차 줄이기

불안정한 공분산을 단순한 기준 쪽으로 당기기

한 달 동안 두 ETF가 평소보다 유난히 비슷하게 움직였다고 하자. 짧은 표본의 공분산만 사용하면 두 ETF를 반대 방향으로 거래하는 조합의 위험을 과소평가할 수 있다. Covariance Shrinkage(공분산 축소)는 표본 행렬을 더 단순한 구조와 섞어 우연히 극단적인 값이 비중을 지배하는 정도를 낮춘다.

$$\widehat{\Sigma}=(1-\alpha)S+\alpha F$$

$\widehat{\Sigma}$

Shrunk Covariance(축소 공분산 행렬), 수익률 제곱 단위.

$S$

Sample Covariance(표본 공분산 행렬), 수익률 제곱 단위.

$F$

Structured Target(구조화 목표 행렬), 수익률 제곱 단위.

$\alpha$

Shrinkage Intensity(축소 강도), 0에서 1 사이 비율.

자산 간 표본 공분산이 0.018이고 목표 행렬의 같은 칸이 0.002라고 하자. 절반씩 섞으면 그 칸은 0.010이다. Ledoit–Wolf Shrinkage(르두아–울프 축소)에서는 섞는 비율을 데이터에서 추정한다. 단순한 목표의 가정이 틀리면 편향이 생기지만, 매번 입력이 요동치는 정도를 줄일 수 있다.

Factor Covariance Model(요인 공분산 모형)은 주식시장이나 금리처럼 여러 자산에 공통인 움직임과 자산별 잔차를 따로 추정한다. 두 주식 ETF의 수익률이 시장에 얼마나 반응하는지부터 구하고, 공통 요인의 공분산을 그 민감도로 각 자산에 전달한다. 여기에 잔차 공분산을 더한다. 추정할 값은 줄지만 중요한 요인이 빠지면 숨은 동반 위험이 남는다. 요인 구조를 쓰면서 불안정한 추정값을 추가로 축소할 수도 있다.

종목 상한은 한 예측 오차가 전체 비중을 좌우하는 일을 줄인다. 매수 전용은 불확실한 음의 예측으로 큰 공매도 포지션을 만드는 것을 제한한다. 회전율 패널티는 기대 이익이 충분히 커야 기존 포지션을 바꾸게 한다. 큰 비중에 제곱 패널티를 부과하거나 소수의 설명 가능한 자산만 허용하는 방식도 목적에 따라 쓴다. 이런 장치는 추정치가 비중에 전달되는 크기를 바꾼다. 후보 수가 감당 가능하고 비용을 이길 정도로 신호가 안정적일 때 복잡한 최적화의 장점이 드러나기 쉽다.

추정이 불확실한 시장 노출은 일부만 헤지하기

주식 바구니의 Market Beta(시장 베타)가 0.8이라고 추정했다고 하자. 시장 수익률이 1% 움직일 때 바구니 수익률은 평균적으로 약 0.8% 움직인다는 뜻이다. 시장 베타가 1인 도구를 자본의 80%만큼 공매도하면 추정한 시장 노출을 상쇄한다. 실제 베타가 0.4라면 순베타는 −0.4가 된다. 시장이 오를 때 헤지 때문에 손실을 입을 수 있다.

Shrinkage Hedging(축소 헤지)에서는 추정치가 불안정할수록 헤지 규모를 줄인다. 위에서 절반만 헤지하면 순베타는 추정치가 맞을 때 +0.4, 실제 베타가 0.4일 때 0이다. 헤지를 얼마나 줄일지는 전체 추정 베타의 크기와 보유 비중으로 합친 베타 추정 오차의 공분산에 달려 있다. 소수 종목에 집중하면 오차가 서로 상쇄될 기회가 줄어든다. 분산된 바구니라도 오차가 같은 방향이면 이 이점은 작다.

요인 하나를 거래 가능한 바구니로 만들기

금리 민감도만 따로 확인하고 싶은 연구자가 있다고 하자. 두 채권 ETF가 금리에 동일한 민감도를 갖지만 첫 ETF의 잔차 분산이 둘째의 네 배라고 가정한다. 잔차가 독립이면 첫째 20%, 둘째 80%의 조합이 두 종목을 반씩 담는 것보다 잔차 분산이 작고, 합계가 100%라 같은 목표 민감도를 유지한다. 구체적으로 잔차 분산의 상대 단위를 4와 1로 두면 $0.2^2 \times 4+0.8^2 \times 1=0.8$이고, 반씩이면 1.25다.

이런 구성을 Factor-Mimicking Portfolio(요인모방 포트폴리오)라고 한다. 일반적으로 자산별 요인 민감도 벡터에 잔차 공분산의 역행렬을 곱한 뒤, 목표 요인 노출이 1이 되도록 크기를 맞춘다. 잔차가 함께 움직이면 독립 예시의 단순 역분산 가중과 달라진다. 이미 쓰는 요인과 겹치는 노출을 먼저 제거하고 표본 밖의 추가 샤프지수와 비용을 확인하면, 새 요인을 추가할 실질적인 가치가 있는지 평가할 수 있다.