13.6 위험균형·변동성 목표·켈리 기준 적용하기

위험을 반씩 나눌 때와 금액을 반씩 나눌 때

변동성이 연 20%인 주식 ETF와 연 10%인 채권 ETF를 50%씩 담고 상관을 0으로 가정하자. 각 자산이 만드는 분산 항은 각각 $0.5^2 \times 0.20^2$와 $0.5^2 \times 0.10^2$다. 주식 쪽이 네 배다. 공분산이 0인 이 사례에서 전체 변동성의 위험기여 비율은 주식 80%, 채권 20%다.

배분 규칙	주식 비중	채권 비중	주식 위험기여 비율	채권 위험기여 비율
금액을 균등 배분	50%	50%	80%	20%
위험기여를 균등 배분	33⅓%	66⅔%	50%	50%

Risk Parity(위험균형)의 대표 규칙인 Equal Risk Contribution(동일 위험기여)은 전체 변동성에 대한 기여를 균등하게 맞춘다. 이 경우 두 비중에 각자의 변동성을 곱하면 모두 약 6.67%로 같아진다. 여러 자산의 상관이 제각각이면 전체 공분산을 반영해 기여를 계산하고 비중을 조정한다.

같은 매수 전용 조건에서 최소분산은 변동성을 가장 낮추는 비중을 찾는다. 위험균형은 변동성이 낮은 곳에만 쏠리지 않게 위험을 나누므로, 일반적인 비교에서는 포트폴리오 변동성이 최소분산과 동일가중 사이에 놓인다. 채권 쪽 비중이 커져 기대 수익과 위험이 함께 낮아지면 레버리지로 위험을 다시 키우는 경우가 있다. 이때 차입 비용과 스트레스 구간의 상관 변화가 성과를 바꾼다.

위 사례에서 같은 위험균형 원칙을 서로 다른 투자 스타일에 적용할 수도 있다. 저평가 자산을 사는 가치 전략과 최근 강세에 따르는 모멘텀 전략이 서로 다른 때 수익을 낸다면, 종목 수를 더 늘리는 것보다 공통 손실의 가능성을 줄이는 데 도움이 된다. 장기 자료에서 관측한 스타일 간 상관이나 위기 구간의 추세 추종 성과는 분산의 근거가 될 수 있다. 후보 요인을 많이 시험했다면 우연히 좋아 보인 요인을 걸러내기 위해 더 높은 통계 기준이 필요하다.

현재 비중의 모양을 유지하며 위험 크기 바꾸기

기본 포트폴리오의 연 변동성 추정치가 15%이고 목표가 10%라고 하자. Volatility Targeting(변동성 목표 조절)은 모든 비중에 $10/15\approx 0.67$을 곱한다. 기본 비중이 60%, 40%면 약 40%, 26.7%가 되고, 나머지는 현금으로 남는다. 추정 변동성이 8%로 낮아지면 배율은 1.25다. 총노출 상한이 있으면 허용 배율까지만 적용한다.

최근 수익률을 똑같이 반영하는 추정창은 단순하다. Exponentially Weighted Moving Average(지수 가중 이동 평균)는 최근 관측에 더 큰 가중치를 주고, Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity(일반화 자기회귀 조건부 이분산) 모형은 최근 충격과 이전의 위험 추정치를 사용한다. 반응 속도를 높이면 급변에 빨리 대응하지만 잡음에 따라 자주 거래할 수 있다. 실현 변동성은 예상과 달라질 수 있고 급락 뒤 노출 축소가 회복기에 영향을 줄 수 있다.

반복 거래에서 수익 우위에 맞춰 크기 정하기

이기면 건 금액만큼 벌고 지면 건 금액을 잃는 게임에서 승률을 60%라고 하자. 매번 현재 자산의 20%를 걸면 승리 뒤 자산은 1.2배, 패배 뒤에는 0.8배가 된다. 한 번씩 이기고 지면 곱은 0.96이다. 이 순서에서 50%를 걸었다면 곱은 0.75다. 큰 비중으로 거래하면 평균적인 한 번의 이익이 커져도 손실이 복리 성장에 주는 타격이 커진다.

Kelly Criterion(켈리 기준)은 거래를 반복할 때 자산 배율에 로그를 취한 값의 기대값을 가장 크게 하는 비중을 찾는다. 로그를 쓰면 매회 곱하는 배율이 더해지므로 장기 성장률을 비교할 수 있다.

$$\begin{aligned} g(f) &= p\log(1+bf)+(1-p)\log(1-f) \\ f^* &= \frac{bp-(1-p)}{b} \end{aligned}$$

$g(f)$

Expected Log Growth(기대 로그 성장률), 거래당 무차원 값.

$f, f^*$

Stake Fraction(투입 비율)과 Optimal Stake Fraction(최적 투입 비율), 현재 자본 대비 소수 비율.

$p$

Win Probability(승률), 0에서 1 사이 확률.

$b$

Payoff Odds(이익 배율), 투입금 한 단위당 순이익 배율.

승률 60%와 이익 배율 1을 넣으면 $(0.60-0.40)/1=0.20$이다. 위의 승패 한 쌍은 가능한 경로 하나다. 최적 비중을 정할 때는 전체 확률을 사용한다. 우위가 음수이고 반대 포지션을 취할 수 없다면 0을 건다. 자산을 전부 잃는 배율에서는 로그가 발산하므로 가능한 손실 범위도 살핀다.

주식처럼 수익률이 연속적으로 움직이면 자산 배율은 $1+fr$이다. 이때 $r$은 한 기간의 초과수익률이다. 배율 변화가 작고 평균의 제곱이 분산에 비해 작다면, 기대 로그 성장률을 평균 보상에서 비중 제곱에 비례한 위험을 빼는 형태로 근사할 수 있다.

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[\log(1+fr)] &\approx f\mu-\tfrac12 f^2\sigma^2 \\ f^* &\approx \frac{\mu}{\sigma^2} \end{aligned}$$

$\mathbb{E}$

Expectation(기댓값) 연산자. 로그 자산 배율을 확률로 평균한다.

$f, f^*$

Exposure(위험자산 노출)와 Optimal Exposure(최적 노출), 자본 대비 소수 비율.

$r, \mu$

Excess Return(초과수익률)과 Expected Excess Return(기대 초과수익률), 같은 기간의 소수 수익률.

$\sigma^2$

Return Variance(수익률 분산), 같은 기간의 수익률 제곱 단위.

자산이 여러 개면 각 기대 초과수익을 비중으로 합하고, 위험은 자산끼리 함께 움직이는 항까지 계산한다. 공분산이 가역이고 비중 제약이 없다면 최적 비중은 공분산 역행렬을 기대 초과수익 벡터에 곱한 값이다. 최대 샤프 포트폴리오와 방향은 같지만, 켈리는 전체 노출 크기까지 정한다. 예상 이익을 과대평가하거나 겹치는 위험을 놓치면 이 크기가 지나치게 커진다. Fractional Kelly(분수 켈리)는 계산된 비중의 절반이나 4분의 1만 사용한다. 가정이 맞을 때의 성장 일부를 줄이는 대신 오차와 큰 손실에 덜 민감해진다.