13.7 평균–분산 최적화와 마코위츠 저주 이해하기

같은 기대 수익을 더 작은 위험으로 얻기

포트폴리오 후보 둘의 기대 수익률이 연 6%로 같고 예상 변동성은 각각 8%, 12%라고 하자. 이 비교에서는 8% 후보가 우세하다. 여러 비중 조합을 만들고 같은 위험에서 기대 수익이 가장 큰 조합만 남기면 Efficient Frontier(효율적 경계)가 된다. 이 후보들을 찾는 방식이 Mean-Variance Optimization(평균–분산 최적화)다.

두 자산의 비중과 기대 수익률을 곱해 더하면 전체 기대 수익률이다. 전체 분산을 구할 때는 각 자산의 분산에 비중의 제곱을 곱하고, 두 자산의 공분산에 두 비중의 곱을 두 번 반영한다. 이 마지막 항 때문에 변동성이 낮은 자산만 찾는 방식과 결과가 달라진다.

가로축은 변동성, 세로축은 기대 수익률이다. 같은 세로 높이에서 왼쪽 점이 더 작은 위험을 뜻한다. 경계의 가장 왼쪽이 Minimum-Variance Portfolio(최소분산 포트폴리오)다. 무위험 수익률에서 시작하는 Capital Allocation Line(자본배분선)이 경계에 닿는 점은 위험 한 단위당 예상 초과수익이 가장 큰 Tangency Portfolio(접점 포트폴리오)다. 현금과 위험 포트폴리오를 자유롭게 섞을 수 있다고 가정한 비교이며 차입 금리와 제약이 다르면 가능한 선도 바뀐다.

다른 방법으로는 기대 수익에서 분산에 비례한 불이익을 뺀 점수를 최대화할 수 있다. 위험을 꺼리는 정도가 크면 낮은 변동성의 조합으로 이동한다. 지수형 효용에서 Constant Absolute Risk Aversion(일정 절대 위험회피)과 정규 수익률을 가정하면 이 평균–분산 형태를 얻을 수 있다. 수익률 분포가 한쪽으로 치우치거나 큰 손실이 자주 나면 평균과 분산만으로 모든 위험을 읽기 어렵다.

이때 일정한 금액 손실에 대한 민감도는 자산 규모에 따라 변하지 않는다고 가정한다. 현금으로 나머지를 채울 수 있고 위험자산 비중에 제약이 없으면, 기대 초과수익에 공분산 역행렬을 곱한 뒤 위험회피 계수로 나눈다. 앞 절의 근사 켈리는 이 계수가 1일 때와 같은 크기다. 계수를 2로 올리면 같은 입력에서 위험자산 비중을 절반으로 줄인다. 총합 100%나 종목 상한이 있으면 이 단순 배율 대신 제약을 포함해 다시 계산한다.

입력이 조금 바뀌었을 때 주문이 크게 변하는 이유

1. 예상 수익률 오차. 비슷한 ETF 두 개의 연 예상 수익률이 6.0%, 6.1%라고 하자. 차이가 작은데도 제약이 약한 최적화는 조금 더 높게 추정한 ETF를 크게 보유할 수 있다. 추정 순서가 뒤집히면 비중이 반대로 이동한다. 예상 초과수익을 일괄 확대하면 제약 없는 해에서는 비중 방향보다 노출 규모가 더 크게 변하지만, 상대 순위 오류는 구성 자체를 바꾼다.
2. 공분산 역행렬의 불안정. 서로 거의 같은 ETF를 반대 방향으로 거래하면 과거에 가격 차이가 거의 움직이지 않았을 수 있다. 계산은 이 방향의 위험이 작다고 보고 작은 기대수익 차이에 큰 노출을 줄 수 있다. 표본 밖에서 두 가격의 관계가 깨지면 손실이 커진다. 관측 기간에 비해 자산이 너무 많으면 역행렬을 구하기 어려운 경우도 생긴다.
3. 집중과 교체. 극단적 해가 매번 다른 종목을 고르면 수익이 나기 전에 거래비용이 발생한다. 한 30개 ETF 비교에서 제약이 약한 최대 샤프 해는 두 자산에, 최소분산 해는 한 단기채 ETF에 약 98% 집중했다. 최소분산은 예상 수익률 오차에는 덜 직접적으로 노출되지만 공분산 오차와 집중에는 여전히 민감하다.

입력 오차에 유리한 조합이 최적으로 선택되어 표본 안과 밖의 성과가 벌어지는 현상을 Markowitz Curse(마코위츠 저주)라고 한다. 접점은 예상 초과수익과 위험의 비율에 의존하므로 입력에 특히 민감하다. 기대 샤프지수와 표본 밖의 집중·회전율·실현 낙폭을 함께 봐야 최적화가 실제로 만든 효과를 판단할 수 있다.