12.9 고정 전략의 샤프지수 불확실성 계산하기

5년의 샤프지수 1.0이 얼마나 흔들릴 수 있는지 계산하기

연구원이 한 전략을 미리 확정하고 5년을 평가해 연환산 샤프 1.0을 얻었다고 하자. 표본에는 큰 상승이나 하락이 우연히 더 많이 들어올 수 있다. Standard Error(표준오차)는 같은 조건에서 기록을 다시 뽑을 때 추정치가 흔들리는 정도다. 수익률이 서로 독립이고 같은 정규분포를 따른다면 일별 샤프지수의 표준오차를 다음과 같이 근사한다.

$\operatorname{SE}(\widehat S_d)$

Standard Error of Daily Sharpe(일별 샤프 추정치의 표준오차), 무차원

$\widehat S_d$

Estimated Daily Sharpe Ratio(표본 일별 샤프지수), 무차원

$T$

Observation Count(일별 수익률 관측 수), 거래일

연 252거래일이면 5년의 관측 수는 약 1,260개다. 일별 샤프는 연환산값을 252의 제곱근으로 나눈 약 0.063이다. 일별 샤프가 작아 분자의 제곱 항이 작다. 표준오차도 원래 지수와 같은 연환산 배율을 적용한다.

Confidence Interval(신뢰구간)의 95%는 같은 방식으로 표본을 반복해 구간을 만들면 장기적으로 그중 약 95%가 참값을 포함한다는 뜻이다. 이 표본의 1.0만 보고 실제 실력이 1.0 근처라고 좁게 단정하기 어렵다. 후보를 보고 승자를 골랐다면 이 고정 규칙용 구간만으로 판정할 수 없다.

작은 성과를 구별하는 데 필요한 기간

연구원이 연환산 샤프 0.5를 샤프 0과 구별하려 한다고 하자. 단측 유의수준 5%는 실제 효과가 0일 때 잘못 통과시키는 비율을 5%로 제한한다는 뜻이다. Power(검정력) 80%는 효과가 가정한 크기일 때 검정이 이를 발견할 확률이다. 정규분포의 기준점 1.645와 0.842를 더해 목표 샤프로 나눈 뒤 제곱한다.

Minimum Track Record Length(최소 관측 기간)의 이 근사는 독립성 등 단순한 조건에서 성립한다. 효과가 절반으로 작아지면 필요한 기간은 네 배가 된다. 수익이 다른 자산과 함께 움직이지 않아 분산에 도움이 되는 전략도, 그 자체의 작은 초과수익을 통계적으로 확인하려면 긴 기록이 필요할 수 있다.

수익이 여러 날 이어지면 연환산을 조정하기

같은 포지션이 여러 날 유지되거나 거래가 뜸해 가격이 늦게 갱신되면 인접 날짜 수익이 비슷해질 수 있다. Serial Dependence(시계열 의존성)가 생기면 1,260일이 1,260개의 독립된 증거와 같은 정보를 주지 않는다. 수익이 연이어 같은 방향으로 움직이면 여러 기간을 합친 수익의 변동성이 단순 제곱근 계산보다 커질 수 있다.

$\widehat S(q)$, $\widehat S(1)$

Multi-period and One-period Sharpe(여러 기간과 한 기간의 샤프지수), 무차원

$q$, $k$

Aggregation Horizon and Lag(합산 기간 수와 시차), 기본 기간 개수

$\widehat\rho_k$

Lagged Autocorrelation(시차별 자기상관), 무차원

평균과 분산이 안정적이라는 조건에서 Lo Adjustment(로 자기상관 조정)는 가까운 시차일수록 합산 구간에서 함께 나타나는 쌍이 많다는 점을 반영한다. 예를 들어 월 샤프 0.4를 두 달로 환산할 때 월별 상관을 0으로 놓으면 0.57이다. 시차 1의 상관이 0.5라면 괄호가 1.5가 돼 약 0.46이다. 음의 자기상관은 반대 방향으로 작용할 수 있다.

이 조정은 지수의 기간 환산이다. 추정치의 구간을 구할 때는 시간에 따라 변동성이 달라지는 점과 자기상관을 함께 고려하는 Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Estimation(이분산·자기상관 일관 추정, HAC)이나 날짜를 묶어 재표집하는 방법을 사용한다. 규칙이 고정됐는지, 수익 의존성을 어떻게 처리했는지, 어떤 빈도로 계산했는지를 함께 남긴다.