7.4 같은 예측값에서 다른 불확실성 읽기

둘 다 20%를 예상해도 판단이 달라진다

연구자가 두 종목의 내일 변동성을 같은 연율 기준으로 20%라고 예상했다고 하자. 첫 종목의 90% 예측 구간은 18~22%, 두 번째는 10~36%다. 두 종목의 중심은 같지만 두 번째는 높은 위험이 실현될 가능성을 더 넓게 열어 둔다. 구간 폭은 각각 4%포인트와 26%포인트다. 중심값으로 나누면 상대 폭은 20%와 130%가 된다.

한 가지 값으로 요약한 결과를 Point Estimate(점추정치)라고 한다. 불확실성 특성은 그 값을 유지한 채, 가능한 결과의 폭을 별도 열로 넣는다. Forecast Standard Error(예측 표준오차)는 예측 분포가 중심에서 흩어진 정도이고, Prediction Interval(예측 구간)은 미래 관측이 들어올 것으로 예상하는 범위다. Tail Probability(꼬리 확률)는 예를 들어 연율 변동성 30%를 넘을 확률처럼 운영 기준을 직접 표현할 수 있다. 중심이 0에 가까울 때는 구간 폭을 중심으로 나눈 값이 폭발할 수 있으므로 이 비율에 의존하지 않는다.

오늘 숨어 있는 상태와 내일 관측의 폭을 구분한다

당일 시장이 얼마나 불안한지 추정하는 것과 다음 날 관측값을 예상하는 것은 다르다. 어제까지의 자료로 현재 상태를 꽤 좁게 추정하더라도 내일 새 소식이 들어오면 미래 관측 범위는 넓을 수 있다. 상태 불확실성은 오늘의 관측되지 않는 상태에 관한 것이고, 예측 불확실성에는 미래에 들어올 충격도 포함된다.

Bayesian Estimation(베이즈 추정)은 초기 가정과 관측값을 합쳐 Posterior Distribution(사후분포)을 만든다. Posterior Standard Deviation(사후 표준편차)은 그 분포의 흩어짐이고, Credible Interval(신용 구간)은 주어진 데이터와 모형 아래에서 상태가 들어갈 확률 질량을 담는다. Frequentist Estimation(빈도주의 추정)의 신뢰 구간은 같은 절차를 반복할 때 참값을 포함하는 비율로 해석한다. 미래 관측의 예측 구간과 모수에 대한 신뢰 구간을 같은 뜻으로 읽지 않는다.

변동성 자체에 새 충격이 올 수 있게 둔다

어제까지의 관측과 계수가 주어지면 GARCH의 다음 분산은 재귀식으로 정해진다. Stochastic Volatility(확률적 변동성, SV) 모형에서는 변동성이 관측되지 않는 상태이고 그 상태 자체에도 새 충격이 들어온다. 큰 수익률이 들어왔다고 해서 오늘 상태가 특정 값으로 확정되지는 않는다. 평소보다 위험이 커졌을 가능성과, 평소 위험에서 드물게 큰 수익률이 나왔을 가능성이 모두 남는다.

연구자는 로그 변동성이 이전 상태에서 얼마나 이어지는지와 새 충격이 얼마나 큰지 적합한다. 관측 수익률에 꼬리가 두꺼운 Student's t-Distribution(스튜던트 t분포)을 허용하면, 극단값 하나를 곧바로 지속적인 변동성 상승으로 해석할 필요가 줄어든다. 사후 평균은 오늘 상태의 중심, 사후 표준편차와 구간 폭은 추정의 정밀도를 보여 준다. 로그 변동성 상태에 들어오는 충격의 분산은 Volatility of Volatility(변동성 자체의 변동성), 이전 상태를 반영하는 계수는 지속성을 나타낸다. 상태의 사후 폭과 상태를 움직이는 충격 분산은 다른 출력이다.

Markov Chain Monte Carlo(마르코프 연쇄 몬테카를로, MCMC)는 사후분포에서 여러 가능한 값을 뽑아 요약하는 방법이다. 계산이 비싸므로 재적합을 드물게 하고, 그사이 온라인 필터로 갱신하거나 다음 적합까지 마지막 값을 유지할 수 있다. 마지막 값을 유지하는 경우 특성의 나이도 기록한다. 과거 행에는 전체 기간으로 다듬은 상태를 붙이지 않고, 그 시점까지의 관측으로 추정한 상태 분포만 쓴다.

로그에서 만든 예측 구간을 원래 단위로 읽는다

실현변동성처럼 0보다 큰 값에 ARIMA를 적용할 때는 먼저 로그를 취할 수 있다. 수준이 높을수록 흔들림도 커지는 자료에서 상대적인 변화가 더 비교하기 쉬워지고, 다시 지수 함수로 되돌린 값은 항상 양수다. 0인 관측이 있다면 로그를 그대로 취할 수 없으므로 처리 규칙을 먼저 정한다.

예를 들어 로그 척도에서 중심 양옆으로 같은 거리인 $\ln(1.5)$를 쓰면, 원래 척도에서는 중심 20%에 대해 1.5로 나누고 곱한 약 13.3%와 30%가 된다. 아래쪽은 약 6.7%포인트, 위쪽은 10%포인트여서 원래 척도의 구간은 비대칭이다. 지수로 되돌린 로그 예측의 중심은 로그 오차가 대칭이면 원래 척도에서 중앙값에 해당한다. 산술평균이 필요하면 분포를 반영해 따로 계산한다.

Garman–Klass(가먼–클래스) 실현변동성 같은 양수 기록에서 학습창으로 차수를 정하고, 로그 척도의 예측 표준오차와 원래 단위의 구간 폭·상대 폭을 함께 저장한다. 평가창에서 실제 값이 명목 90% 구간 안에 얼마나 자주 들어가는지 확인한다. 범위가 계속 좁아서 실제 관측을 놓친다면 모형의 높은 자신감을 그대로 믿기 어렵다. 넓은 구간 자체를 매도 신호로 쓰기보다, 같은 수익률 신호를 얼마나 믿거나 위험 여유를 얼마나 둘지 판단하는 데 활용한다.