10.5 요인 추정에서 종목별 예측으로 이어 가기

어제의 공통 움직임을 오늘의 종목 점수로 바꾸기

지난 세 달 동안 한 공통 요인의 월 수익률이 1%, −1%, 3%였다고 하자. 그 요인에 오늘 A의 민감도는 1.5, B의 민감도는 0.5다. 다음 달 요인 수익률을 과거 평균인 $(1-1+3)/3=1\%$로 예상한다면 A와 B의 예상 초과수익률은 각각 1.5%와 0.5%다. 예측값이 −1%로 바뀌면 둘의 순위도 반대로 바뀐다. 민감도와 요인 예측은 별도의 입력이다.

1. 1학습 기간 수익률로 요인 이력과 민감도를 추정한다.
2. ↓
   2학습 기간 요인 이력으로 다음 달 요인 수익률을 예측한다.
3. ↓
   3오늘 공개된 특성으로 구한 민감도에 예측값을 곱하고 요인별로 합산한다.

$$\widehat{\mu}_{i,t+1}=\beta_{i,t}^{\mathsf T}\widehat{\lambda}_{t+1}$$

$\widehat{\mu}_{i,t+1}$

Expected Excess Return Forecast(예상 초과수익률), 다음 기간 자산 수익률의 %

$\beta_{i,t}$

Current Factor Exposure(현재 요인 민감도), 단위 없는 요인별 계수 벡터

$\widehat{\lambda}_{t+1}$

Factor Premium Forecast(요인 프리미엄 예측), 다음 기간 요인별 수익률의 %

$i,t$

Asset Index and Forecast Date(자산 번호와 예측 기준 시점), $t+1$은 다음 관측 기간

$\mathsf T$

Transpose(전치), 요인별 곱을 합하도록 벡터 방향을 바꾸는 기호

첫 단계에서는 이미 끝난 기간의 수익률을 압축한다. 특성을 사용하는 모형은 그 수익률보다 먼저 공개된 값으로 민감도를 추정한다. 둘째 단계가 끝나기 전에는 다음 달 실현 요인을 알 수 없다. 다음 달 수익률에서 계산한 요인을 다시 다음 달 예측에 넣으면 사후 복원을 예측으로 채점하게 된다. 셋째 단계는 기준일에 사용 가능한 특성으로만 계산한다.

둘째 단계에서 단순한 예측부터 비교하기

같은 요인 이력에 적용할 예측기

층위	읽는 정보와 적용 방식	평가할 절충
기준	Constant Mean(상수 평균)은 학습 평균을 유지한다. First-order Autoregression(1차 자기회귀, AR(1))은 직전 값으로 다음 값을 예상한다. Exponentially Weighted Moving Average(지수가중 이동평균, EWMA)는 최근 값에 더 큰 비중을 준다.	짧거나 소음이 큰 이력에서도 추정할 수 있다.
회귀	Ridge Regression(릿지 회귀)은 여러 지연 입력의 계수를 줄여 안정시키고, LightGBM은 나무 모형을 순차적으로 더해 비선형 조건을 포착한다.	지연과 경제 상태가 실제로 도움을 주는지 확인한다.
시퀀스	Long Short-Term Memory(장단기 기억, LSTM)나 Temporal Convolutional Network(시간 합성곱 신경망, TCN)는 시간 순서에 따른 여러 길이의 패턴을 학습한다.	충분한 이력이 있어야 복잡성이 새 기간에서도 이득을 낸다.

월별 ETF와 미국 기업 특성 자료에는 기준 예측기만 적용했다. 주 단위 주식·옵션과 CME 선물에는 회귀까지, 일별 미국 주식에는 시퀀스 모형까지 후보에 포함했다. 관측 빈도만으로 결정하기보다 한 학습 구간에 실제로 몇 개의 독립적인 시점이 남는지 살펴야 한다.

예측기가 바뀌어도 첫 단계의 요인 이력과 민감도를 같은 비교에 쓸 수 있다. 사전학습 시계열 모형이나 확률 예측기도 이 자리에 들어간다. 예측 불확실성이 큰 요인은 투자 조합에서 빼는 방식도 가능하다. 요인별 예측이 나아져도 종목별 민감도 추정이 흔들리거나 개선된 요인의 노출이 작으면 종목 순위의 이득은 제한적이다.

기업 특성이 달라지면 민감도도 바꾸기

A의 유동성이 줄고 가치주 성격이 강해졌다면, 과거 전체 기간으로 추정한 한 개의 고정 베타가 지금의 위험을 제대로 반영하지 못할 수 있다. IPCA는 먼저 크기, 장부가치 대비 시가총액, 모멘텀 등 관측 가능한 특성에 계수를 곱해 요인별 민감도를 만든다. 예를 들어 표준화 가치 점수에 0.6을 곱해 베타를 정한다면, 점수가 1에서 2로 오를 때 베타는 0.6에서 1.2로 바뀐다. 요인 프리미엄을 1%로 예상할 때만 이 노출 차이가 0.6%p의 기대수익률 차이가 된다.

추정할 때는 처음에 요인 수익률을 임시로 잡는다. 그 이력을 고정해 특성에서 베타로 가는 계수를 최소제곱으로 구한다. 이어 계수를 고정하고 각 날짜의 실제 수익률을 가장 잘 설명하는 요인을 다시 구한다. 오차가 충분히 줄 때까지 두 계산을 반복하는 방법이 Alternating Least Squares(교대 최소제곱, ALS)다. 가정한 계수로 인공 수익률을 만든 뒤 정규화가 맞는 조건에서 추정이 원래 구조를 회복하는지 점검할 수 있다.

특성이 요인과의 공변동을 나타낸다면 베타를 반영한 뒤 남는 평균 오차인 Alpha(알파)가 작아야 한다. 다섯 요인에서 특성 효과 대부분이 베타로 흡수된 연구가 있다. 남는 알파는 오가격 후보지만 빠진 위험이나 잘못된 함수 형태도 같은 결과를 만든다. 요인 수를 예를 들어 3~8개로 바꿔 결과를 비교한다. 원 연구의 94개 특성보다 적은 57개를 사용한 사례에서는 관측하지 않은 위험이 잔차에 섞일 수 있다. 작은 기업의 기록이 자주 비므로 전부 제외하면 모집단이 달라진다. 날짜별 중위수 대체와 결측 표시를 검토하고, 대체 전후의 결과를 비교한다. 선형 관계는 높은 변동성에서만 모멘텀이 민감도를 바꾸는 상호작용을 자동으로 배울 수 없다.

작게 움직여도 평균 수익률을 설명하는 축 찾기

위험 축 하나가 전체 분산의 2%만 설명해 일반 PCA에서 15위 밖이라고 하자. 그 축의 샤프비율이 0.8이고 자산의 평균 초과수익률 차이를 설명한다면, 분산 순위만으로는 놓치기 쉽다. RP-PCA는 중심을 맞춘 수익률의 복원 오차와 자산별 평균 초과수익률의 설명 오차를 함께 줄인다.

예를 들어 같은 단위로 환산한 두 축의 복원 오차와 평균 오차가 각각 A는 1과 4, B는 2와 1이라고 하자. 평균 오차에 가중치 0을 주면 A가 앞선다. 가중치 1에서는 A의 총 오차가 5, B는 3이어서 B가 앞선다. 실제 계산은 두 오차를 제곱해 집계하고, 평균 수익률 외적 항에 가중치를 더한 행렬을 분해하는 방식으로 구현할 수 있다. 평균 자체의 표본 오차가 크므로 벌점을 높일수록 우연한 평균 차이에도 맞춰질 수 있다. 미국 주식 장기 자료에서 표본 밖 샤프비율이 기본 PCA의 두 배를 넘은 보고가 있지만, 거래 가능 범위와 기간을 바꿔 재확인해야 한다.

시험에 쓸 자산이 요인의 발견을 바꾼다

모든 시험 자산이 신용 위험에 거의 반응하지 않으면 그 위험이 존재해도 추정기가 찾기 어렵다. Test Assets(시험 자산)는 모형이 설명해야 할 종목 또는 포트폴리오다. 먼저 모든 모형을 같은 자산에 시험한다. 다음에는 약한 공통 축에 정보가 많은 자산을 먼저 고르는 Supervised PCA(지도 주성분분석)나, 특성에 따라 주식을 나눠 여러 시험 포트폴리오를 만드는 나무 기반 방법으로 범위를 바꾼다. 추가 후보가 기존 요인으로 설명되는지 이중 선택 라쏘로 확인할 수도 있다. 시험 자산이나 벌점을 고르는 과정도 학습 기간 안에서 진행한다.

모형이 학습하는 대상과 세 단계 예측의 연결

모형	추정 기준	민감도와 예측 연결
PCA	공변동 설명	기간 내 고정. 요인 예측은 선택
RP-PCA	분산과 평균 오차	기간 내 고정. 요인 예측을 별도 수행
IPCA	특성으로 조건부 수익률 복원	선형 베타와 요인 예측
CAE	특성 사이의 비선형 결합까지 반영해 복원	신경망 베타와 요인 예측
SDF	무차익 가격 오차	할인 가중치 추정
SAE	미래 라벨 예측과 입력 복원	미래 수익률 또는 방향을 직접 출력