14.6 시장충격과 기다리는 위험 비교하기

한 번에 살 때와 네 번에 살 때의 위험

오전 한 시점에 1,000주를 모두 사면, 그 뒤 가격이 올라가도 남아 있는 매수 주문은 없다. 대신 가까운 매도호가를 한꺼번에 소진해 평균 체결가가 올라갈 수 있다. 250주씩 네 번 나누면 중간에 호가가 회복될 시간이 생기지만, 다음 구간까지 남은 750주가 가격 상승에 노출된다.

Almgren–Chriss Framework(알름그렌–크리스 집행 모형)는 각 주문 경로의 평균 비용과 비용이 크게 흔들릴 위험을 함께 평가한다. 여러 번 같은 조건에서 주문한다고 가정할 때 평균 비용이 낮은 경로가 언제나 가장 안정적으로 끝나는 경로는 아니다.

$$\min_x\ \mathbb E[C(x)] + \lambda\,\operatorname{Var}[C(x)]$$

$x$

Execution Trajectory(집행 경로)

시점별 잔량(주)

$C(x)$

Execution Cost(집행 비용)

원

$\mathbb E[C(x)]$

Expected Cost(기대 비용)

원

$\operatorname{Var}[C(x)]$

Cost Variance(비용 분산)

원의 제곱

$\lambda$

Risk Aversion(위험 회피 계수)

원의 역수

가격이 더 많이 흔들리는 날은 오래 들고 있는 잔량의 위험이 커진다. 반면 주어진 거래 속도에서 일시적 충격이 큰 시장이라면 빠른 주문을 내는 부담이 늘어난다. 기본 모형은 시장 거래 속도 대비 내 거래 속도에 일시적 충격이 비례하고, 같은 방향으로 누적 거래한 총량에 영구적 충격이 비례한다고 둔다. 시간대나 단위가 다른 속도와 수량을 같은 비율로 넣지 않도록 맞춘다.

초반에 더 많이 사면 잔량 곡선이 가파르게 내려간다

가격 변화가 독립적으로 쌓이고 일시적 충격이 속도에 선형이며 계수가 일정하다고 가정하자. 영구적 충격이 경로 선택에 미치는 효과를 단순화하면, 매수 주문의 최적 잔량은 다음 형태다.

$$x(t)=X_0\frac{\sinh\!\bigl(\kappa(T-t)\bigr)}{\sinh(\kappa T)}$$

$x(t)$

Remaining Quantity(시점별 미체결 잔량)

주

$X_0$

Initial Quantity(시작 수량)

주

$t$

Elapsed Time(경과 시간)

분

$T$

Execution Horizon(전체 집행 시간)

분

$\kappa$

Liquidation Rate Parameter(집행 경로의 굽음 계수)

분의 역수

시작에는 분자와 분모가 같아 전량이 남고, 마감에는 분자가 0이 되어 전량 체결된다. 계수가 커질수록 초반 잔량이 더 빨리 줄어든다. 아래 중간 경로는 계수와 전체 시간의 곱을 2로, 높은 위험 회피 경로는 3으로 두고 계산했다. 위 식에서 $sinh$는 Hyperbolic Sine(쌍곡사인)이다. 입력이 0에 가까우면 입력과 값이 거의 같아, 위험 벌점이 작을 때 잔량은 시간에 거의 비례해 줄어든다.

영구적 충격의 경로 효과를 생략한 연속시간 근사에서는 굽음 계수를 다음처럼 계산한다.

$$\kappa=\sqrt{\frac{\lambda\sigma^2}{\eta}}$$

$\kappa$

Liquidation Rate Parameter(집행 경로의 굽음 계수)

분의 역수

$\lambda$

Risk Aversion(위험 회피 계수)

원의 역수

$\sigma$

Absolute Price Volatility(가격 변동성)

분의 제곱근당 주당 가격 변화(원/주)

$\eta$

Temporary Impact Coefficient(속도 단위에 맞춘 일시적 충격 계수)

원·분/주²

변동성과 위험 벌점이 커지면 굽음 계수가 커지고 일시적 충격 계수가 커지면 작아진다. 마감만 앞당기면 전체 평균 거래 속도는 높아진다. 같은 비율의 경과 시간으로 비교한 경로의 굽음은 전체 시간과 계수의 곱에 달려 있다. 집행이 빨라지는 것과 초반에 물량 비중이 더 몰리는 것을 구분해야 한다.

잔량(주)

경과 시간(분)

시간 균등중간 위험 회피높은 위험 회피

15분 시점에서 높은 위험 회피 경로는 약 532주를 이미 거래했고 시간 균등 경로는 250주를 거래했다.

계수가 바뀌면 주문 계획을 다시 비교한다

시장 상태별 집행 경로를 비교할 입력

시나리오	변동성	일시적 충격 계수	위험 벌점
기준	집행 구간의 평소 값	체결로 보정한 값	중간
고변동	+50%	+30%	높게
낮은 유동성	+20%	+50%	높게
안정적	−20%	−20%	낮게

표의 변화율은 기준 대비 시나리오다. 변동성이 오르면 서둘러 끝낼 이유가 커지고 충격 계수가 오르면 주문을 분산할 이유가 커진다. 두 입력을 함께 바꿔 어느 효과가 큰지 잔량과 비용으로 확인한다. 집행 구간의 최근 실현변동성, 옵션에 반영된 내재변동성, 예정된 뉴스와 호가 자료로 시나리오를 잡는다. 여러 합리적 가정에서 경로가 크게 갈리면, 한 경로를 정밀하게 따르기보다 참여율 한도를 두고 새 체결에 맞춰 조정하는 편이 견고하다.

기본 모형은 즉시 발생하는 일시적 충격과 선형 영구 충격을 단순화한다. 호가 회복이 늦어 충격이 다음 구간이나 다음 날까지 남으면 같은 날 자료만으로 정한 규모를 줄여야 할 수 있다. 가격을 지정한 주문에는 대기열과 미체결 위험도 추가된다. 느린 집행은 큰 자본을 수용하는 데 도움이 될 수 있지만, 몇 분 만에 사라지는 신호에는 그 속도가 맞지 않는다.