15.3 손실 문턱과 꼬리 평균 비교하기

손실이 드문 수준까지 커지는 문턱

운용자가 같은 비중으로 얻은 일간 수익률 100개를 손실률로 바꾼다. 수익률 −2%는 손실률 2%이고, 수익률 +1%는 손실률 −1%다. 손실률을 작은 값부터 정렬했더니 95번째 값이 2%였다. 그 위에 3%, 3%, 4%, 5%, 10%가 있다.

이때 하루 95% Value at Risk(위험가치, VaR)는 2%다. 100개 관측치 중 5개가 이를 넘는다. 같은 기간과 신뢰수준을 붙여야 다른 값과 비교할 수 있다. 2%는 최악의 손실을 제한하는 상한이 아니므로, 다음 날 10%가 넘는 손실도 가능하다.

문턱을 넘은 뒤의 크기

위 사례에서 가장 큰 다섯 손실을 평균하면 25를 5로 나눈 5%다. 이것이 95% Conditional Value at Risk(조건부 위험가치, CVaR)이며 Expected Shortfall(기대손실, ES)이라고도 부른다. 95번째 값이 같은 다른 계좌에서 위의 다섯 값이 모두 3%라면 VaR는 똑같이 2%지만 CVaR는 3%다. 표본 경계에 동률이 있으면 가장 나쁜 5%에 해당하는 관측 질량만 포함한다.

CVaR는 Subadditivity(부분가법성)를 만족한다. 같은 기간과 신뢰수준에서 합친 손실의 CVaR는 각각의 CVaR를 더한 값 이하다. 각 자산의 최악의 날이 다르면 개별 꼬리를 합친 값만큼 동시에 잃지 않을 수 있다. VaR는 이 성질이 일반적으로 성립하지 않는다. 두 자산이 각각 4%의 확률로만 손실을 내고 손실 날짜가 서로 겹치지 않으면 개별 95% VaR는 0이지만, 둘을 보유한 계좌의 손실 확률은 8%여서 합친 VaR는 0보다 커진다.

같은 자료에서 방법에 따라 문턱이 달라지는 이유

Historical Simulation(역사적 시뮬레이션)은 위처럼 과거 관측을 정렬한다. 모형을 적게 가정하지만 위기 표본이 적으면 꼬리 추정이 몇 날짜에 좌우된다. Parametric VaR(모수적 위험가치)은 평균과 변동성 등을 추정해 정규분포 같은 가정에서 분위수를 계산한다. 계산은 빠르지만 극단 손실이 잦은 시장에서는 문턱을 낮게 잡을 수 있다.

Cornish–Fisher Expansion(코니시–피셔 전개)은 정규분포 분위수에 비대칭성과 꼬리 두께를 반영한다. 그 두 값의 추정이 불안정하면 보정이 지나칠 수 있다. Extreme Value Theory(극단값 이론)는 높은 문턱을 넘은 관측에만 별도 꼬리 모형을 맞춘다. 문턱이 너무 높으면 추정에 쓸 관측이 부족하고, 낮으면 평상시 움직임이 섞인다.

2006–2024년 미국 주식, 종합채권, 금, 선진국·신흥국 주식 ETF(상장지수펀드)를 균등하게 보유한 비교에서는 포트폴리오 VaR가 개별 VaR의 비중 가중합보다 약 24% 작았다. 합계가 1%라면 같은 감소율은 0.76%에 해당한다. 방법별 VaR는 같은 신뢰수준 안에서 비교한다. 이 바스켓에서는 99%에서 꼬리 두께를 보정한 추정치가 다른 방법과 특히 멀어졌다. 관측이 드문 구간일수록 분포 가정의 영향이 커지기 때문이다.

분포 모양을 모를 때의 보수적 상한

Cantelli’s Inequality(칸텔리 부등식)는 분산이 유한할 때, 수익률이 평균보다 일정 표준편차 이상 낮을 확률에 상한을 준다. 무위험수익률을 0으로 두고 같은 기간의 평균이 표준편차의 두 배라면, 손실이 발생하려면 평균에서 두 표준편차 이상 내려가야 한다. 상한은 $1/(1+2^{2})=20\%$다. 한 표준편차라면 50%다. 정규분포 가정에서는 각각 약 2.3%, 16%다. 상한과 정규분포의 계산값 사이의 차이는 가정을 줄이는 대가이며, 연간 평균과 일간 표준편차를 섞어 적용할 수 없다.

시장 상태와 실제로 빠져나오는 비용

전략이 조용한 날을 많이 지나왔다면 전체 손실 분포에서 평상시 관측이 대부분을 차지한다. 주문 전에 알 수 있었던 실현 변동성이나 VIX(미국 주식 옵션 가격에 반영된 변동성 지수)로 과거를 분류한 뒤 각 그룹 안에서 다시 정렬한다. SPY(미국 대형주 ETF) 사례에서 하루 95% CVaR는 저변동성 1.63%, 고변동성 4.33%였다. 4.33을 1.63으로 나누면 약 2.7배다. 고변동성에서는 VaR도 상승했지만 CVaR가 더 크게 벌어졌다. 표본이 작은 그룹의 꼬리는 오차가 크고, 국면이 바뀌기 시작할 때 지표가 뒤늦게 반응할 수 있다.

가격이 함께 떨어지면 분산 효과가 줄고, 매수·매도 호가 차이가 벌어지며 자기 주문의 가격 충격도 커진다. 운용팀은 시나리오마다 가격 손실에 청산 주문의 비용을 더한 뒤 새 손실을 정렬한다. 예를 들어 가격 손실이 2%이고 추가 체결 비용이 순자산의 1%라면 해당 시나리오의 손실은 3%다. 호가 차이를 두세 배로 늘리고 시장 거래량을 줄인 뒤, 당일에 전량을 팔 수 있는지도 별도로 따진다. 전략 규모와 거래량이 결과를 좌우한다.

예측한 위험이 실제 기록과 맞는지 확인하기

운용자는 날마다 미리 예측한 문턱과 이후 관측된 손실을 맞춰 본다. 95% VaR의 초과 빈도 기준은 5%다. Kupiec Test(쿠피엑 검정)는 관측한 초과 횟수가 이 빈도와 양립하는지 평가한다. SPY 비교에서 역사적 방법은 기대 초과 횟수의 1.11배였고, 정규 모수 방법은 1.17배, 코니시–피셔는 1.45배였다. 검정의 p값은 각각 0.10, 0.012, 0.001 미만이었다. 이는 비교 표본에서 역사적 방법의 빈도가 기준에 더 가까웠다는 뜻이다. 초과가 몰리는지와 초과 손실이 얼마나 큰지는 별도로 봐야 한다.

미래 변동성은 직접 볼 수 없다. 하루 수익률의 제곱이나 장중 5분 수익률 제곱의 합을 분산의 대리값으로 쓴다. Mean Squared Error(평균 제곱 오차, MSE)는 예측 분산과 대리 분산 차이의 제곱을 평균한다. QLIKE(준우도 손실)는 다음 값을 날짜별로 계산해 평균한다.

$\ell$

QLIKE Loss(준우도 손실). 같은 입력 단위에서 비교하는 점수.

$\widehat v$

Forecast Variance(예측 분산). 소수 수익률의 제곱 단위이며 양수.

$v$

Variance Proxy(대리 분산). 같은 기간의 소수 수익률 제곱 단위.

대리 분산이 4일 때 예측값 2와 6의 제곱 오차는 각각 4로 같다. QLIKE는 약 2.69와 2.46이므로 낮게 예측한 쪽에 더 큰 손실을 준다. 대리값이 조건부로 불편한 분산 추정치일 때 두 평가법은 대리값의 잡음 때문에 기대 순위가 바뀌는 문제를 줄인다. 실제 표본의 순위는 달라질 수 있다. 운용팀은 같은 예측 기간에서 두 점수와 문턱 초과 기록을 함께 확인하고, 평상시 수치와 위기 국면의 CVaR 및 청산 비용을 함께 보고한다.