10.2 주성분분석으로 공통 움직임 추출하기

같은 방향과 반대 방향으로 기록을 접어 보기

두 펀드 A와 B가 있다고 하자. 학습 표본에서 평균을 뺀 하루 수익률의 분산은 각각 $1\,(\%\text{p})^2$, 공분산은 $0.8\,(\%\text{p})^2$라고 가정한다. 둘이 같은 방향으로 움직이는 날이 많으므로 더한 값은 크게 움직이고, 차이는 작게 움직인다. PCA는 날짜를 행, 자산을 열에 놓고 이처럼 움직임의 크기가 큰 방향부터 찾는다.

가중치 방향을 단위 길이로 맞추면 이 예에서 같은 방향은 두 펀드에 각각 $1/\sqrt{2}$를 곱한다. 반대 방향은 B에만 음의 부호를 붙인다. 공분산 행렬을 가중치에 곱했을 때 방향은 유지되고 크기만 달라진다면 그 가중치를 Eigenvector(고유벡터), 크기 배율을 Eigenvalue(고유값)라고 한다.

$\Sigma$

Covariance Matrix(공분산 행렬), 수익률을 퍼센트포인트로 입력하면 단위는 $(\%\text{p})^2$

$v_k$

Eigenvector(고유벡터), 단위 길이로 맞춘 자산 가중치 벡터

$\lambda_k$

Eigenvalue(고유값), 해당 방향의 분산으로 공분산과 같은 단위

$k$

Component Index(성분 번호), 설명분산이 큰 순서

첫 방향은 $1+0.8=1.8$, 둘째 방향은 $1-0.8=0.2$만큼 분산을 설명한다. 첫째의 몫은 $1.8/(1.8+0.2)=90\%$다. 이렇게 만든 각 수익률 시계열이 Principal Component(주성분)다. 방향끼리 직각이며, 추정에 쓴 표본에서 주성분 수익률끼리 상관이 0이다. 극단 손실이 동시에 생길 가능성이나 미래 상관까지 사라지는 것은 아니다.

실제 표본에서 성분 수 읽기

섹터 상장지수펀드에서 첫 성분은 약 71%, 그다음 네 성분은 각각 약 9%, 6.5%, 3.5%, 3%를 설명했다. 두 번째까지 약 80%, 다섯 번째까지 약 93%다. Scree Plot(스크리 도표)의 막대가 가파르게 작아지다 완만해지는 지점을 성분 수 후보로 삼는다. 아래 막대의 합은 상위 다섯 성분까지만 더한 값이다. 이 비중은 추정 기간의 공동 움직임에 관한 수치이며 기대수익률의 설명 비중과 별개다.

입력의 크기를 그대로 둘지 정하기

A의 표준편차가 B의 세 배라면, 두 자산에 공통 충격이 있어도 원래 단위의 Covariance PCA(공분산 주성분분석)는 A의 변동을 많이 담는다. 포트폴리오 위험을 원래 수익률 단위에서 읽을 때는 이 크기가 중요하다. 자산별 평균을 빼고 표준편차로 나눈 뒤 분석하는 Correlation PCA(상관 주성분분석)는 모든 자산의 분산을 1로 맞춘다. 큰 변동이 공통 충격에 실제로 더 민감해서 생겼다면 그 차이도 줄어든다.

중간 선택은 Idiosyncratic Volatility(고유 변동성)만 나누는 것이다. 먼저 이전 기간에서 시장과 섹터로 설명되는 부분을 뺀 뒤 잔차의 표준편차를 구한다. 예를 들어 A의 오늘 수익률이 2%, 과거 잔차 표준편차가 1%라면 정규화 값은 2다. B도 2% 올랐지만 과거 잔차 표준편차가 2%라면 값은 1이다. 종목에만 고유한 소음이 큰 B의 영향이 줄어든다. 오늘 자료를 포함해 오늘의 나눗셈 기준을 정하면 실제 거래 때 쓸 수 있는 입력과 달라진다.

자산이 많고 날짜가 적을 때 소음 걸러내기

종목 500개를 거래일 250일로 비교하면 자산마다 공분산을 계산할 상대가 수백 개다. 평균을 뺀 자료의 독립적인 시간 방향은 최대 249개이므로 표본 공분산에는 0인 고유값도 생긴다. 큰 고유값 일부는 소음만 있어도 위로 부풀 수 있다.

Marchenko–Pastur Distribution(마르첸코–파스투르 분포)은 독립이고 분산이 같은 잡음이라는 기준 아래 표본 고유값이 어디까지 퍼질지 보여 준다. Baik–Ben Arous–Péché Transition(바이크–벤아루스–페셰 전이)은 같은 계열의 가정 아래 실제 약한 요인을 표본 방향으로 회복할 수 있는 경계를 설명한다. 자산 수를 날짜 수로 나눈 비율이 2라면 잡음 분산을 1로 둔 모집단 요인의 경계는 $1+\sqrt{2}\approx2.41$이다. 이 값은 표본 스크리 도표에 바로 그리는 상한과 다르다. 날짜에 비해 자산이 적은 펀드나 선물에서는 약한 요인을 구별하기가 상대적으로 쉽다.

Covariance Shrinkage(공분산 수축)는 표본의 극단적인 추정치를 대각 행렬처럼 단순한 목표 쪽으로 당긴다. Ledoit–Wolf Shrinkage(르두아–울프 수축)는 이 절충의 한 방법이다. 추정 기간을 굴려서 가중치가 비슷한지 보고, 시계열 의존을 보존하는 블록 단위 Bootstrap(부트스트랩)으로 가중치 범위를 살필 수 있다. PCA는 선형 공변동을 설명한다. 변동성이 높을 때만 관계가 강해지거나 꼬리에서만 두 자산이 함께 손실을 내면, 기간을 나눠 확인하거나 추가 위험 측정이 필요하다.