13.9 계층적 위험균형으로 그룹별 배분하기

비슷한 자산을 먼저 묶고 그룹 사이에 나누기

기술주 ETF 두 개와 공공서비스 ETF 두 개가 있다고 하자. 기술주 두 개가 거의 같은 날 오르내리면 두 자산을 따로 담아도 기술주 위험을 공유한다. Hierarchical Risk Parity(계층적 위험균형)는 이런 자산을 먼저 묶고, 서로 다른 그룹 사이에 자본을 나눈 뒤 각 그룹 안을 다시 나눈다.

1. 상관을 거리로 바꾼다. 1에서 두 자산의 상관을 빼고 2로 나눈 뒤 제곱근을 구한다. 상관 1은 거리 0, 상관 −1은 거리 1이다. 가까운 자산부터 묶되, 여러 자산을 합친 그룹 사이의 거리를 어떻게 정할지도 명시한다.
2. 가까운 자산이 옆에 오도록 순서를 정한다. 군집이 합쳐진 순서를 Dendrogram(계층 군집 나무)으로 그린다. 나무를 따라 공분산 행렬의 행과 열을 같이 재정렬하면 비슷한 자산이 대각선 근처의 블록을 이룬다. 이를 Quasi-diagonalization(준대각화)이라고 한다.
3. 재정렬된 묶음을 반복해서 이분한다. 각 부분을 내부 역분산 가중으로 담았을 때의 분산을 구한다. 두 그룹의 분산이 같은 단위로 4와 1이라면 역수 0.25와 1을 정규화해 20%, 80%로 나눈다. 그룹 안을 같은 방식으로 반복한다. 기술주 그룹 안의 두 분산이 같다면 전체 자본의 10%씩을 받는다.

그림의 왼쪽은 어떤 자산이 가까운지, 가운데는 재정렬된 순서, 오른쪽은 위험이 낮은 부분에 더 많이 준 결과를 보여 준다. 추정 오차가 주로 그룹 안에서 생기면 먼저 그 그룹의 위험과 내부 비중에 영향을 준다. 전체 공분산을 한꺼번에 뒤집는 계산을 피하고 기대 수익률도 쓰지 않으므로, 비슷한 군집 구조가 유지되는 동안 비중이 상대적으로 안정적일 수 있다.

군집이 바뀌거나 강한 수익 전망이 있을 때

기본 방식은 단계마다 양의 몫을 나누므로 매수 전용이다. 매수와 공매도 후보를 나눠 각각 계층적으로 배분한 뒤 합칠 수 있다. 기대 수익률을 쓰지 않으므로 종목 선택에 쓴 순위는 남아도, 같은 후보 안에서 강한 수익 전망에 추가 비중을 주기는 어렵다. 또한 거리와 연결 규칙에 따라 나무가 달라지고 자산이 그룹을 옮기면 한 번에 비중이 움직일 수 있다. 여러 재표본과 기간에서 특정 군집 규칙이 반복해서 유리한지 확인한다.

Nested Clustered Optimization(중첩 군집 최적화)은 그룹 안에서 먼저 최적 비중을 만들고 그 그룹 포트폴리오들을 다시 최적화한다. 계산 규모를 줄이면서도 전망과 제약을 반영할 수 있지만, 두 단계에서 기대 수익률 오차가 비중에 들어온다. Schur Complementary Allocation(슈어 보완 배분)은 그룹을 독립처럼 다루는 정도를 줄여, 다른 그룹과의 공분산을 일부 보존한다. 그룹 간 위험 관계를 얼마나 믿을 수 있는지에 따라 최소분산에 가까워지는 정도를 선택할 수 있다.

같은 상위 다섯 ETF에 적용한 결과

2010~2023년에 월마다 Gradient Boosting Machine(그래디언트 부스팅 머신)이 선정한 상위 다섯 ETF를 네 방식으로 배분했다. 위험 추정에는 당시까지 252거래일을 사용했다. 최소분산은 르두아–울프 축소를 적용하고 매수 전용 비중으로 투영한 뒤 다시 정규화했다.

배분	연 수익률	샤프지수	최대낙폭	칼마 비율
축소 최소분산	11.83%	0.8437	−28%	0.4215
계층적 위험균형	11.41%	0.8293	−28%	0.4063
역변동성	10.92%	0.8074	−28%	0.3893
동일가중	10.38%	0.7763	−28%	0.3698

Calmar Ratio(칼마 비율)는 연환산 수익률을 최대낙폭의 절댓값으로 나눈 값이다. 첫 행은 $11.83/28\approx0.42$다. 샤프지수의 최대 차이도 $0.8437-0.7763=0.0674$다. 네 배분 모두 최대낙폭이 같은 수준이었다. 후보 다섯 개를 고르는 신호가 보유 경로에 큰 영향을 줬고, 월별 재조정은 급변에 따라 군집을 다시 구성하는 속도를 제한했다. 더 크고 다양한 후보군에서는 군집 간 자본 분할의 역할이 커질 수 있다.