11.6② 같은 자산에서 발견한 인과 구조 비교하기

같은 자료를 써도 화살표의 개수와 뜻은 달라진다

운용팀이 같은 날의 대형주, 기술주, 금융주 수익률로 방향이 있는 그림을 만들고 싶다고 하자. 같은 날의 움직임을 연결하더라도 금융주 → 대형주 → 기술주 → 금융주처럼 돌아오는 고리가 생기면 DAG(방향성 비순환 그래프)의 조건을 위반한다. 가능한 모든 그림을 하나씩 검사하는 일은 자산이 많아질수록 커진다.

NOTEARS는 순환 여부를 계산에 넣는다

NOTEARS는 자산 사이의 연결 강도를 행렬로 놓고, 자료를 잘 설명하면서 적은 연결을 가진 해를 찾는다. 각 연결 강도를 제곱한 행렬을 거듭제곱하면 여러 화살표를 이어 간 경로가 합쳐진다. 이때 대각선은 출발점으로 돌아온 경로를 모은다. Matrix Exponential(행렬 지수함수)은 이 거듭제곱들을 가중해 합친다. 자기 자신으로 돌아오는 길이 없으면 지수함수의 대각합은 변수 개수와 같고, 순환이 있으면 그보다 커진다.

$W$

Weighted Adjacency Matrix(가중 인접행렬). 표준화 수익률을 쓸 때 행렬 원소는 단위 없는 연결 계수다.

$W \circ W$

Element-wise Product(원소별 곱). 연결 계수를 각각 제곱한 행렬이며 단위가 없다.

$d$

Number of Variables(변수 수), 단위는 개다.

$h(W)$

Acyclicity Constraint(비순환 제약). 값은 단위가 없고 0이면 순환이 없다.

$\operatorname{tr}$은 대각 원소를 더하고 $\exp$는 행렬 지수함수를 뜻한다. 정확하고 미분 가능한 제약이므로, 연결을 하나씩 넣고 빼는 대신 계수를 연속적으로 움직이면서 해를 찾을 수 있다. 기본 방법은 같은 시점의 선형 구조를 학습한다. 하루 앞서 움직였다는 결론에는 시차 자료와 그에 맞는 방법이 필요하다. 비선형·시간 확장은 별도 방법이다.

2015~2024년의 일별 자산 기록으로 네 결과를 비교한다

비교에는 대형주 SPY, 기술주 비중이 높은 QQQ, 소형주 IWM, 장기 국채 TLT, 금 GLD, 신흥국 EEM, 금융업 XLF를 사용했다. 같은 자산이라도 방법마다 검사하는 연결 후보가 다르다. 두 자산 사이 방향을 보는 것과 자기 자신을 포함한 3개 시차를 보는 것은 분모부터 달라진다.

PCMCI에서 XLF의 하루 시차는 SPY, QQQ, EEM과 강하게 연결됐다. 이 연결의 절대 Partial Correlation(부분상관)은 0.10을 넘었고, 전체 발견 연결의 중앙 절댓값은 약 0.06이었다. 작은 값도 많은 관측에서 통계적으로 잡힐 수 있다. 거래 비용을 넘는 영향인지 판단하려면 크기와 예측 결과를 별도로 확인한다.

SPY, 중기 국채 IEF, 금 GLD, 변동성 지수 VIX만 쓴 4자산 실험에서는 PCMCI가 유의한 시차를 찾지 못했다. 연속 관측을 블록으로 재표본하는 Block Bootstrap(블록 부트스트랩)에서 가장 자주 나온 IEF→VIX도 37%로 기준 50%보다 낮았다. 금융업 ETF가 들어가는지, 일별과 장중 중 무엇을 쓰는지, 어느 기간을 고르는지에 따라 발견 가능성이 달라진다.

VAR-LiNGAM의 직접 구현은 Ridge(릿지) 회귀 뒤 Independent Component Analysis(독립 성분 분석, ICA)를 사용했다. 라이브러리는 DirectLiNGAM 순서 추정과 통계적 가지치기를 적용했다. 두 구현에서 공통으로 남은 XLF→SPY 하루 시차는 다음 설계에서 확인할 후보가 된다. NOTEARS의 동시점 구조에서는 SPY→QQQ가 모든 블록 재표본에서, IWM→SPY와 IWM→XLF가 80% 넘게, XLF→SPY가 69%에서 나왔다. 동시점 연결의 반복성과 시차 연결의 반복성은 구별한다.

합성 자료의 정답이 실전에도 있는지 살핀다

ADIA Lab 대회에서는 생성된 데이터와 정답 그래프가 학습 자료로 제공됐다. 참가자는 비지도 발견이나 지도학습을 쓸 수 있었다. 평가에서는 지정한 처치와 결과에 대해 각 노드의 역할을 맞힌 뒤, 클래스별 성능을 균형 있게 반영했다. 지도학습과 혼합 방식은 알려진 생성 규칙이 반복되는 조건에서 전통적인 방법을 앞섰다.

실제 시장에서는 정답 그래프를 모아 학습하기 어렵다. 시뮬레이터에서 반복된 구조, 자산의 동시 반응, 누락된 변수나 구조 변화가 실제 시장에서 다를 수 있다. 합성 실험은 방법의 작동 조건을 비교하는 데 쓰고, 시장에서 남긴 연결은 경제적 경로와 새로운 자료로 다시 검증한다.