9.4 데이터 빈도를 맞춰 Sharpe를 연환산하기

9.4 데이터 빈도를 맞춰 Sharpe를 연환산하기

세 기간의 가상 수익률은 -0.95%, 0.05%, 1.05%다. 연 무위험수익률은 0%, 연간 관측 수는 252회다. 핵심 질문은 하나다. 같은 기간 단위로 계산한 Sharpe를 올바르게 연환산한 값과 평균·표준편차 단위를 섞은 오류 값이 왜 정확히 252배 차이 나는가?

세 수익률을 그대로 놓고 시작한다

세 기간의 평균 초과수익률과 표본표준편차를 사용해 입력·빈도·연환산 단위가 끝까지 일치하는지 확인한다.

세 기간의 명시적 가상 수익률

기간	기간수익률	평균 0.05%와의 차이	차이의 제곱
1	-0.95%	-1.00%p	1.00
2	0.05%	0.00%p	0.00
3	1.05%	+1.00%p	1.00

Annual risk-free rate(연 무위험수익률)가 0%이므로 세 Period excess return(기간 초과수익률)은 원 수익률과 같다. Sample mean(표본평균)과 Sample standard deviation(표본표준편차)을 손으로 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \bar r &=\frac{-0.0095+0.0005+0.0105}{3} =0.0005 =0.05\% \\ s &=\sqrt{\frac{(-0.0095-0.0005)^2+(0.0005-0.0005)^2+(0.0105-0.0005)^2}{3-1}} \\ &=0.01 =1\% \end{aligned}$$

$\bar r$

세 Period excess return(기간 초과수익률)의 Sample mean(표본평균)

단위: 기간당 소수 수익률과 퍼센트

$s$

세 Period excess return(기간 초과수익률)의 Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 기간당 소수 수익률과 퍼센트

같은 기간끼리 나눈 뒤 연환산한다

기간 Sharpe는 $0.0005/0.01=0.05$다. 이 값에 $\sqrt{252}$를 곱한 Annualized Sharpe ratio(연환산 샤프 비율)와, 같은 값을 $\sqrt{252}$로 나눈 Unit-mixed Sharpe(단위 혼합 오류 값)를 나란히 계산한다.

여기서 $S_{\mathrm{mixed}}$와 $F_{\mathrm{error}}$는 새로운 성과지표가 아니다. 연환산 코드가 단위를 잘못 처리했는지 찾기 위해 잘못된 계산을 일부러 재현하는 진단용 값이다.

두 진단값을 구하는 목적

진단값	왜 구하는가?	어떻게 해석하는가?
$S_{\mathrm{mixed}}$	기간 평균은 그대로 두고 표준편차만 연환산하는 흔한 단위 오류를 재현한다.	코드 결과가 이 값과 같다면 기간 Sharpe에 $\sqrt{m}$을 곱하지 않고 나눴는지 확인해야 한다.
$F_{\mathrm{error}}$	올바른 값이 단위 혼합 오류 값보다 몇 배 큰지 계산해 오류의 크기를 확인한다.	연 252기간 사례에서 252배가 나오므로 관측 빈도 전체가 계산 오류 배수로 나타났음을 알 수 있다.

$$\begin{aligned} S_{\mathrm{period}} &=\frac{0.0005}{0.01} =0.05 \\ S_{\mathrm{annual}} &=S_{\mathrm{period}}\sqrt{m} =0.05\sqrt{252} \approx0.793725 \\ S_{\mathrm{mixed}} &=\frac{S_{\mathrm{period}}}{\sqrt{m}} =\frac{0.05}{\sqrt{252}} \approx0.003150 \\ F_{\mathrm{error}} &=\frac{S_{\mathrm{annual}}}{S_{\mathrm{mixed}}} =\frac{0.05\sqrt{252}}{0.05/\sqrt{252}} =252 \end{aligned}$$

$S_{\mathrm{period}}$

Period Sharpe ratio(기간 샤프 비율)

단위: 없음

$S_{\mathrm{annual}}$

Annualized Sharpe ratio(연환산 샤프 비율)

단위: 없음

$S_{\mathrm{mixed}}$

평균은 기간 단위, 표준편차만 연환산한 Unit-mixed Sharpe(단위 혼합 오류 값)

단위: 해석 불가

$F_{\mathrm{error}}$

올바른 연환산 값을 단위 혼합 오류 값으로 나눈 Annualization error factor(연환산 오류 배수)

단위: 배

$m$

Periods per year(연간 관측 수)

예시 값: 252기간/년

오류 값은 반올림 때문에 약 0.003150으로 보이지만 오류 배수는 근삿값이 아니라 대수적으로 정확히 252배다. 올바른 식은 기간 Sharpe에 $\sqrt{252}$를 곱하고, 오류 식은 같은 값으로 나누므로 두 식의 비가 252가 된다.

따라서 전략 성과를 보고할 때는 $S_{\mathrm{annual}}$을 사용한다. $S_{\mathrm{mixed}}$와 $F_{\mathrm{error}}$는 성과를 평가하려는 값이 아니라, 구현과 계산식을 점검할 때만 사용하는 비교값이다.

연 무위험수익률도 같은 기간으로 바꾼다

Annual risk-free rate(연 무위험수익률)를 기간수익률에서 그대로 빼지 않는다. 연 유효수익률을 Period risk-free rate(기간 무위험수익률)로 복리 변환한다.

$$r_{f,\mathrm{period}} =\left(1+r_{f,\mathrm{annual}}\right)^{\frac{1}{m}}-1$$

$r_{f,\mathrm{period}}$

Period risk-free rate(기간 무위험수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$r_{f,\mathrm{annual}}$

Annual risk-free rate(연 무위험수익률)

단위: 연간 소수 수익률

$m$

Periods per year(연간 관측 수)

단위: 기간/년

별도 월간 사례에서 연 12%와 연 12기간을 사용하면 다음과 같다.

$$(1+0.12)^{\frac{1}{12}}-1 \approx0.00948879 \approx0.948879\%$$

단순히 $12\%/12=1\%$로 나누는 값과 다르다. 계산 도구에서 관측 빈도를 월간으로 바꾸고 연 무위험수익률을 12%로 올리면 정확한 월 환산값을 확인할 수 있다.

기간수익률 세 개

1번째 수익률%2번째 수익률%3번째 수익률%

연 무위험수익률

0.00%

관측 빈도일간 · 연 252회주간 · 연 52회월간 · 연 12회

연환산 Sharpe 0.793725

원 기간수익률

[-0.950%, 0.050%, 1.050%]

기간 무위험수익률

0.000000%

기간 초과수익률

[-0.950%, 0.050%, 1.050%]

평균 기간 초과수익률

0.050000%

표본표준편차

1.000000%

기간 Sharpe

0.050000

연환산 Sharpe

0.793725

단위 혼합 오류 값 · 진단용

0.003150

연환산 오류 배수 · 오류 크기

252배

단위 혼합 오류 값과 오류 배수는 성과지표가 아니라 연환산 계산을 확인하는 비교값입니다.

단순 연환산은 기간별 분산이 대체로 더해지고 자기상관이 작다는 가정에 의존합니다.

연환산은 성과를 새로 만들지 않는다

수익률이 서로 강하게 이어지는 경우에는 $\sqrt{m}$을 곱한 단순 연환산이 정확하지 않을 수 있다. 연환산은 같은 계산 결과를 연 단위로 바꾸어 표시하는 방법이며, 관측 횟수를 늘린다고 전략의 성과가 좋아지는 것은 아니다.

이해 점검

기간수익률 [-0.95%, 0.05%, 1.05%]의 평균과 표본표준편차는 얼마인가?

평균은 0.05%다. 평균과의 차이는 -1%p, 0%p, +1%p이고 제곱합을 $3-1=2$로 나누므로 표본표준편차는 1%다.

기간 Sharpe 0.05에서 연 252기간일 때 올바른 연환산 값, 단위 혼합 오류 값과 두 값의 비는 얼마인가?

올바른 값은 약 0.793725, 오류 값은 약 0.003150이며 올바른 값은 오류 값의 정확히 252배다.

연 무위험수익률 12%를 월간 유효수익률로 바꾸면 얼마인가?

$(1.12)^{1/12}-1\approx0.00948879$, 즉 약 0.948879%다. 연 12%를 단순히 12로 나눈 1%와 다르다.

단위 혼합 오류 값과 오류 배수는 왜 구하는가?

새로운 성과지표를 만들기 위해서가 아니다. 잘못된 연환산 계산을 재현하고 올바른 값과 비교해 코드의 단위 오류와 그 크기를 찾기 위해 사용한다.

완료 기준

다음을 직접 수행하면 9.4와 9장을 마친 것이다.

1. 세 수익률에서 평균 0.05%와 표본표준편차 1%를 계산한다.
2. 기간 Sharpe 0.05와 연환산 약 0.793725를 계산하고, 단위 혼합 약 0.003150과 오류 배수 252가 진단용 비교값임을 설명한다.
3. 연 12%를 월 약 0.948879%로 복리 환산하고 같은 기간 수익률에서만 차감한다.

이 페이지의 세 기간수익률, 무위험수익률과 연간 관측 수는 단위 점검을 위한 가상 자료다. 계산된 Sharpe와 252배 오류는 실제 전략 성과, 위험, 미래 수익 또는 투자 적합성을 나타내거나 예측하지 않는다.