6.2 공분산으로 분산투자 설계하기

6.2 공분산으로 분산투자 설계하기

자산 A와 B에 절반씩 투자하면 기대수익률은 쉽게 계산할 수 있다. 그런데 두 자산이 같은 방향으로 움직일 때와 반대 방향으로 움직일 때 포트폴리오의 흔들림은 왜 달라질까? 이 페이지에서는 같은 두 자산과 같은 비중을 유지한 채 Correlation coefficient(상관계수)만 바꾸어 답을 찾는다.

두 자산을 절반씩 담아 본다

Portfolio expected return(포트폴리오 기대수익률)은 투자한 자본 비중만큼 각 자산의 기대수익률을 더한다.

$$\begin{aligned} E(R_p) &= w_AE(R_A)+w_BE(R_B) \\ &= 0.5 \times 0.08+0.5 \times 0.04 \\ &= 0.06=6\% \end{aligned}$$

$E(R_p)$

Portfolio expected return(포트폴리오 기대수익률)

단위: 연간 소수 수익률

$w_A$, $w_B$

자산 A와 B에 배분한 자본 비중

단위: 자본 대비 비율

$E(R_A)$, $E(R_B)$

자산 A와 B의 Expected return(기대수익률)

단위: 연간 소수 수익률

변동성도 50%씩 단순 가중해 8%라고 계산하면 두 자산이 함께 움직이는 정도를 빠뜨린다.

100만 원을 자산 A와 B에 50만 원씩 투자했다고 해 보자.

• 자산 A의 Volatility(변동성) 10%는 전체 투자금에 5만 원, 즉 5%만큼 영향을 준다.
• 자산 B의 Volatility(변동성) 6%는 전체 투자금에 3만 원, 즉 3%만큼 영향을 준다.

두 자산이 같은 방향으로 움직이면

자산 A가 10% 오르고 자산 B도 6% 오른다고 해 보자.

$$50\% \times 10\% + 50\% \times 6\% = 8\%$$

100만 원을 기준으로 자산 A에서 5만 원, 자산 B에서 3만 원이 늘어나므로 전체 투자금은 8만 원, 즉 8% 움직인다.

두 자산이 반대 방향으로 움직이면

자산 A가 10% 오를 때 자산 B는 6% 내린다고 해 보자.

$$50\% \times 10\% - 50\% \times 6\% = 2\%$$

자산 A에서 5만 원을 벌지만 자산 B에서 3만 원을 잃으므로 전체 투자금은 2만 원, 즉 2%만 움직인다. 한쪽의 움직임이 다른 쪽을 상쇄한 것이다.

따라서 위험을 계산할 때는 각 자산이 얼마나 흔들리는지만 봐서는 안 된다. 두 자산의 흔들림이 같은 방향인지 반대 방향인지에 관한 관계도 숫자로 계산에 포함해야 한다. 여기서는 그 계산 방법보다 이러한 관계가 반드시 필요하다는 점만 기억하자.

상관계수를 공분산으로 바꾼다

Covariance(공분산)는 상관계수에 두 자산의 변동성을 곱한 값이다.

$$\operatorname{Cov}(R_A,R_B) = \rho_{AB}\sigma_A\sigma_B$$

$\operatorname{Cov}(R_A,R_B)$

자산 A와 B 수익률의 Covariance(공분산)

단위: 연 수익률 단위의 제곱

$\rho_{AB}$

자산 A와 B 수익률의 Correlation coefficient(상관계수)

단위: 무차원, 범위 -1부터 1

$\sigma_A$, $\sigma_B$

자산 A와 B의 Volatility(변동성)

단위: 연간 소수 수익률

상관계수가 0이면 공분산은 0이다. 상관계수가 1이면 $1 \times 0.10 \times 0.06=0.006$, -1이면 $-1 \times 0.10 \times 0.06=-0.006$이다.

개별 위험 두 항과 공동 움직임 한 항을 더한다

두 자산 포트폴리오 분산은 개별 위험 두 항과 Covariance term(공분산 항) 하나의 합이다.

$$\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B$$

$\sigma_p^2$

Portfolio variance(포트폴리오 분산)

단위: 연 수익률 단위의 제곱

$w_A$, $w_B$

자산 A와 B의 비중

단위: 자본 대비 비율

$\sigma_A$, $\sigma_B$

자산 A와 B의 Volatility(변동성)

단위: 연간 소수 수익률

$\rho_{AB}$

두 자산 수익률의 Correlation coefficient(상관계수)

단위: 무차원, 범위 -1부터 1

상관계수 0을 넣으면 공분산 항이 사라진다.

$$\begin{aligned} \sigma_p^2 &=0.5^2(0.10)^2+0.5^2(0.06)^2+2(0.5)(0.5)(0) \\ &=0.0025+0.0009+0 \\ &=0.0034 \\ \sigma_p &=\sqrt{0.0034} \\ &\approx 0.05830952=5.830952\% \end{aligned}$$

$\sigma_p^2$

상관계수 0인 50%/50% 가상 포트폴리오 분산

단위: 연 수익률 단위의 제곱

$\sigma_p$

상관계수 0인 50%/50% 가상 포트폴리오 변동성

단위: 연간 소수 수익률

개별 변동성 10%와 6% 사이에서 단순 가중한 8%보다 5.830952%가 낮다. 두 자산의 흔들림이 완전히 겹치지 않아 일부가 상쇄되는 Diversification(분산투자) 효과다.

같은 비중에서 상관계수만 바꾼다

세 경우 모두 비중과 자산별 기대수익률이 같으므로 포트폴리오 기대수익률은 6%다. 달라지는 것은 공분산 항과 포트폴리오 위험이다.

자산 A 비중

50%

상관계수

0.0

자산 A는 기대수익률 8%·변동성 10%, 자산 B는 기대수익률 4%·변동성 6%인 가상 자산입니다. 최소분산점은 두 비중을 0%부터 100% 사이로 제한해 계산합니다.

자산 B 비중

50%

기대수익률

6.000%

공분산

0.0000

공분산 항

0.0000

분산

0.0034

변동성

5.831%

현재 상관계수에서 롱 전용 최소분산 A 비중은 26.5%입니다.

• 현재점
• 최소분산점
• 개별 자산

자산이 많아져도 원리는 같다. 비중 벡터와 Variance-covariance matrix(분산-공분산 행렬)를 사용하면 한 줄로 나타낼 수 있다.

$$\sigma_p^2 = \mathbf{w}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w}$$

$\sigma_p^2$

Portfolio variance(포트폴리오 분산)

단위: 선택한 기간 수익률 단위의 제곱

$\mathbf{w}$

자산 비중 벡터

단위: 자본 대비 비율

$\boldsymbol{\Sigma}$

Variance-covariance matrix(분산-공분산 행렬)

단위: 선택한 기간 수익률 단위의 제곱

최소 위험 지점도 조건부 결과다

Minimum-variance portfolio(최소분산 포트폴리오)는 입력한 변동성과 상관계수, 허용한 비중 범위 안에서 분산이 가장 작은 조합이다. 기대수익률을 가장 높이는 조합이나 미래 손실을 막는 조합이라는 뜻은 아니다.

• 기대수익률, 변동성과 상관계수는 표본에서 추정하므로 오차가 있다.
• 상관관계는 시장 환경이 바뀌면 달라질 수 있고 위기 때 높아질 수 있다.
• Short position(숏 포지션), Leverage(레버리지), 유동성과 거래비용을 허용하는 방식에 따라 가능한 비중이 달라진다.
• 종목 수가 많아도 같은 공통 위험에 노출되면 Diversification(분산투자) 효과는 작을 수 있다.

자주 생기는 오해를 바로잡는다

• 상관계수 0은 독립이나 무위험을 보장하지 않는다.
• 음의 상관계수라고 해서 모든 기간의 손실이 상쇄되지는 않는다.
• 포트폴리오 변동성은 개별 변동성의 단순 가중평균이 아니다.
• 최소분산 비중은 입력값이 바뀌어도 유지되는 고정 답이 아니다.
• 낮은 변동성 하나만으로 더 나은 투자라고 단정할 수 없다.

이해 점검

50%/50% 포트폴리오의 기대수익률이 6%인 이유는 무엇인가?

투자 자본의 절반에서 8%, 나머지 절반에서 4%를 기대하므로 $0.5 \times 8\%+0.5 \times 4\%=6\%$다.

상관계수 0에서 분산 0.0034는 어떻게 나오는가?

공분산 항이 0이 되어 개별 위험 항 $0.5^2(0.10)^2=0.0025$와 $0.5^2(0.06)^2=0.0009$를 더한다.

상관계수를 1, 0, -1로 바꿔도 기대수익률이 6%인 이유는 무엇인가?

기대수익률 식에는 자산별 기대수익률과 비중만 들어가며, 이 사례에서는 두 값이 모두 그대로이기 때문이다.

최소분산 포트폴리오를 언제나 가장 좋은 포트폴리오라고 할 수 없는 이유는 무엇인가?

입력한 위험 추정치와 비중 제약 아래 분산만 최소화하며 기대수익, 비용, 유동성, 꼬리손실과 추정오차까지 해결하지 않기 때문이다.

완료 기준과 다음 연결

같은 두 자산과 같은 비중에서도 상관계수에 따라 공분산 항과 포트폴리오 변동성이 달라지는 이유를 계산으로 설명할 수 있으면 완료다. 다음 6.3에서는 여러 자산을 함께 담는 대신 시장과 한 자산의 공동 움직임을 Beta(베타)라는 기울기로 읽는다.

이 자료의 자산, 수익률, 변동성과 상관계수는 계산 구조를 설명하기 위한 가상값이며 투자 권유나 실제 투자성과를 뜻하지 않는다.