4.1 확률 영역의 목차

4.1 확률 영역의 목차

이 페이지에서는 주사위를 예로 들어 나올 수 있는 모든 결과와 그중에서 궁금한 결과를 구분한다. 그런 다음 확률이 어떤 일이 일어나기 쉬운 정도는 말해 주지만, 다음 결과를 확실하게 맞혀 주지는 않는다는 점을 배운다.

공정한 6면 주사위를 한 번 던진다고 생각해 보자. 아직 주사위를 던지지 않았으므로 어떤 숫자가 나올지는 모른다. 그래도 무엇이 나올 수 있는지는 알고 있다.

• 나올 수 있는 모든 결과: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• 궁금한 것: 짝수가 나올까?
• 궁금한 것에 해당하는 결과: 2, 4, 6

확률 문제는 먼저 전체 후보와 관심 있는 후보 묶음을 나누는 데서 시작한다. 이 둘을 나눈 뒤에야 관심 있는 일이 얼마나 일어나기 쉬운지 계산할 수 있다.

주사위 예시로 결과와 사건을 구분한다

이제 위 예시에 확률의 이름을 붙여 보자. Random experiment(확률실험)은 실행하기 전에는 결과가 정해지지 않았지만, 무엇이 나올 수 있는지는 정할 수 있는 절차다.

• Outcome(결과): 주사위를 던진 뒤 실제로 나온 숫자 하나다. 예를 들어 4다.
• Sample space(표본공간): 나올 수 있는 모든 숫자다. 이 예에서는 1, 2, 3, 4, 5, 6이다.
• Event(사건): 우리가 궁금해하는 조건에 맞는 결과를 묶은 것이다. 짝수가 나온다는 2, 4, 6을 묶은 사건이다.

결과 4와 짝수가 나온다는 같은 말이 아니다. 4는 실제로 나올 수 있는 숫자 하나이고, 짝수가 나온다는 2, 4, 6 가운데 하나가 나오는지를 묻는 질문이다.

확률에는 지켜야 할 기본 규칙이 있다

사건 $A$의 Probability(확률)는 0과 1 사이의 비율이다. 확률이 0에 가까울수록 일어나기 어렵고, 1에 가까울수록 일어나기 쉽다.

$$0 \le P(A) \le 1$$

$A$

관심 있는 Event(사건)

단위: 결과의 집합

$P(A)$

사건 $A$가 일어날 Probability(확률)

단위: 0~1의 무차원 비율

공정한 주사위는 1부터 6까지 각 숫자가 나올 가능성이 모두 같다. 그래서 짝수가 나올 확률은 나올 수 있는 숫자 6개 중 짝수인 2, 4, 6이 3개라는 뜻으로 다음처럼 계산할 수 있다.

관심 있는 결과 3개를 나올 수 있는 모든 결과 6개로 나누면 50%다.

이처럼 결과마다 나올 가능성이 같을 때는 결과의 개수만 세어 확률을 구할 수 있다. 하지만 한쪽이 무거운 주사위처럼 특정 숫자가 더 자주 나온다면 결과의 개수만 세어서는 정확한 확률을 구할 수 없다. 이때는 각 숫자가 실제로 얼마나 자주 나오는지를 따로 알아야 한다.

짝수가 나올 확률을 손으로 계산한다

공정한 6면 주사위에서 사건 $A$를 짝수가 나온다로 두자. 사건 $A$는 하나의 숫자가 아니라, 짝수에 해당하는 결과를 모은 집합이다. 따라서 $A = \{2, 4, 6\}$으로 쓴다.

가능한 모든 결과를 모은 Sample space(표본공간) $S$는 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$이다. 주사위를 던지면 이 여섯 숫자 중 하나는 반드시 나온다. 따라서 $S$에 포함된 결과가 나올 확률은 100%, 즉 $P(S) = 1$이다.

• $A = \{2, 4, 6\}$: 우리가 관심 있는 짝수 결과의 집합
• $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$: 나올 수 있는 모든 결과의 집합
• $P(S) = 1$: 주사위를 던지면 $S$ 안의 결과 중 하나가 반드시 나온다는 뜻

이제 전체 결과 6개 중 사건 $A$에 들어 있는 결과가 3개이므로 짝수가 나올 확률은 50%다.

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$$

$A$

짝수 결과를 모은 Event(사건), $A = \{2, 4, 6\}$

단위: 결과의 집합

$P(A)$

공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률

단위: 비율 또는 퍼센트

확률 50%는 무엇을 말할까

짝수가 나올 확률이 50%다라는 말은 짝수가 나올 가능성과 홀수가 나올 가능성이 같다는 뜻이다. 공정한 주사위를 같은 조건에서 아주 많이 던지면, 짝수가 나온 비율이 대체로 50%에 가까워질 것으로 기대할 수 있다.

하지만 다음 결과를 확실하게 알려 주는 말은 아니다.

• 다음에 반드시 짝수가 나온다는 뜻이 아니다.
• 두 번 던지면 반드시 한 번은 짝수가 나온다는 뜻이 아니다.
• 앞에서 홀수가 여러 번 나왔으니 다음에는 반드시 짝수가 나온다는 뜻도 아니다.

확률은 어떤 일이 얼마나 일어나기 쉬운가를 나타내는 숫자이지, 이번에 무엇이 반드시 일어나는가를 맞히는 예언이 아니다.

여사건은 나머지 결과를 모두 묶은 것이다

짝수가 나오는 사건 $A$를 정했다면, 짝수가 나오지 않는 경우도 생각할 수 있다. 짝수가 아닌 결과는 1, 3, 5이고, 이를 한데 묶으면 홀수가 나온다는 사건이 된다.

이처럼 관심 있는 사건이 일어나지 않는 모든 경우를 묶은 것을 Complement(여사건)이라고 한다. 쉽게 말해 여사건은 나머지 경우를 모두 모은 것이다. 사건 $A$의 여사건은 $A^{\mathrm{c}}$로 표시한다.

• 사건 $A$: 짝수가 나온다 → 2, 4, 6
• 사건 $A$의 여사건 $A^{\mathrm{c}}$: 짝수가 나오지 않는다 → 1, 3, 5

주사위를 던지면 짝수 또는 홀수 중 하나는 반드시 나온다. 따라서 짝수가 나올 확률과 홀수가 나올 확률을 더하면 항상 100%다.

$$P\left(A^{\mathrm{c}}\right) = 1 - P(A) = 50\%$$

$A^{\mathrm{c}}$

사건 $A$가 일어나지 않는 Complement(여사건)

단위: 결과의 집합

$P(A)$

사건 $A$의 확률

단위: 0~1의 무차원 비율

사건 A에 포함할 주사위 결과

123456

전체 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다. 선택이 없어도 불가능 사건으로 계산할 수 있습니다.

선택한 사건 AA = {2, 4, 6}3/6 = 50.00%

P(A)50.00%

P(A의 여사건)50.00%

여사건은 {1, 3, 5}이며 두 확률의 합은 항상 100%입니다.

4장에서 앞으로 배울 내용

아래 개념을 지금 모두 이해하거나 외울 필요는 없다. 4장에서 어떤 질문을 차례로 배울지만 가볍게 살펴보자.

질문	사용할 개념
각 결과는 얼마나 자주 나올까?	Probability distribution(확률분포)
값들은 평균 주변에 얼마나 퍼져 있을까?	Variance(분산), Standard deviation(표준편차)
두 사건이 함께 일어날 확률은 얼마일까?	Joint probability(결합확률)
새로운 정보를 알면 확률은 어떻게 바뀔까?	Conditional probability(조건부확률)
처음 생각과 새로운 증거를 어떻게 합칠까?	Bayes' theorem(베이즈 정리)
같은 일을 많이 반복하면 결과는 어떻게 달라질까?	Law of large numbers(대수의 법칙), Central limit theorem(중심극한정리)
컴퓨터로 여러 번 반복해 확률을 알아볼 수 있을까?	Monte Carlo simulation(몬테카를로 시뮬레이션)

현실은 복잡하므로 확률 문제에서는 궁금한 부분만 골라 단순하게 생각한다. 계산을 시작하기 전에 무엇을 한 번 해 보는가?와 어떤 결과들이 나올 수 있는가?만 먼저 정하면 된다. 각 개념의 자세한 내용은 다음 페이지부터 하나씩 배운다.

주식의 확률을 말할 때도 기준이 필요하다

내일 주식이 오를 확률을 알고 싶다고 해 보자. 계산하기 전에 어떤 주식인지, 오늘과 내일의 어느 가격을 비교할지, 가격이 얼마나 올라야 올랐다고 할지를 먼저 정해야 한다. 기준이 다르면 같은 자료를 사용해도 답이 달라질 수 있다.

과거에 주가가 오른 날이 많았다는 사실만으로 내일도 오를 확률이 높다고 단정할 수는 없다. 조사한 기간이 너무 짧거나 특별한 상승기만 포함했을 수도 있고, 지금의 시장 상황이 과거와 다를 수도 있기 때문이다.

확률은 다음 결과를 확실하게 맞히는 숫자가 아니다. 일어날 확률이 70%인 일도 이번에는 일어나지 않을 수 있고, 확률이 1%인 일도 실제로 일어날 수 있다. 확률은 어떤 일이 다른 일보다 얼마나 일어나기 쉬운지를 비교하도록 도와주는 숫자다.

자주 생기는 오해

• 표본공간의 모든 결과가 자동으로 같은 확률을 갖는 것은 아니다.
• 사건은 반드시 결과 하나만 뜻하지 않는다.
• 확률 0은 일반적인 연속모형에서 절대 불가능과 항상 같은 뜻이 아니다. 이 차이는 4.3에서 다룬다.
• 확률이 높다고 이번 결과를 보장하지 않는다.
• 과거 빈도는 데이터 생성 과정이 안정적이라는 가정 없이 미래 확률이 되지 않는다.

이해 점검

주사위에서 결과 4와 짝수 사건은 어떻게 다른가?

4는 실제로 나올 수 있는 결과 하나다. 짝수 사건은 2, 4, 6 세 결과를 묶은 집합이다.

공정한 주사위의 표본공간과 5보다 큰 수 사건은 무엇인가?

표본공간은 1부터 6까지이고, 5보다 큰 수 사건에는 결과 6 하나만 들어간다. 그 확률은 $1/6$이다.

짝수 사건의 확률이 50%라면 여사건은 무엇이고 확률은 얼마인가?

여사건은 홀수가 나오는 사건이며 확률은 $1-0.5=0.5$, 즉 50%다.

왜 결과 수만 세어 확률을 계산할 수 없는 주사위가 있을까?

각 면이 같은 가능성을 갖는다는 가정이 성립하지 않을 수 있기 때문이다. 결과별 확률이 다르면 각 확률을 따로 알아야 한다.

완료 기준

하나의 확률실험에서 결과, 표본공간, 사건과 여사건을 직접 적고, 공정한 모형이라는 조건 아래 사건과 여사건의 확률 합이 1임을 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 가능한 숫자 값마다 확률을 붙여 하나의 분포를 만든다.

이 자료는 확률모형의 기본 언어를 설명하는 교육 자료이며 특정 시장 결과나 투자 성과를 예측하지 않는다.