3.2 수익이 다시 원금에 더해지는 효과

3.2 수익이 다시 원금에 더해지는 효과

이 페이지는 3장의 필수 개념이다. 여러 기간의 수익률을 더하지 않고 자산가치에 차례로 곱하며, 수익과 손실의 순서가 계좌에 남기는 결과를 계산하는 것이 목표다.

3.1에서 한 기간의 수익률을 계산했다. 투자 기간이 여러 개라면 첫 기간이 끝난 자산가치가 다음 기간의 새 출발점이 된다. **Compounding(복리)**은 앞에서 생긴 수익이나 손실이 다음 기간의 계산 기준에 포함되는 과정이다.

자산가치는 매 기간 새 기준으로 갱신된다

기간 $t$의 시작 자산가치를 $V_{t-1}$이라고 하면 다음 자산가치는 말로 이렇게 계산한다.

$$V_t = V_{t-1}\left(1 + r_t\right)$$

$V_t$

이번 기간이 끝난 자산가치

단위: 가격 또는 통화

$V_{t-1}$

직전 기간의 자산가치

단위: 가격 또는 통화

$r_t$

이번 기간의 Simple return(단순수익률)

단위: 기간 비율 또는 퍼센트

초기값 100에 첫 기간 +10%를 적용하면 110이다. 둘째 기간 -10%는 처음의 100이 아니라 새 기준 110에 적용한다.

$$\begin{aligned} 100 \times 1.10 &= 110 \\ 110 \times 0.90 &= 99 \end{aligned}$$

따라서 +10% 다음 -10%의 최종 누적수익률은 0%가 아니라 -1%다.

여러 기간의 누적수익률은 곱으로 연결한다

여러 기간의 단순수익률이 $r_1$, $r_2$, $r_3$, $\ldots$, $r_n$이라고 하자. 각 기간 수익률에 1을 더하고, 그 값을 모두 곱한 뒤 마지막에 1을 빼면 최종 Cumulative return(누적수익률)이 된다. 이를 먼저 풀어 쓰고, 같은 계산을 Product notation(연속곱 표기)으로 줄여 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} R_{\mathrm{cumulative}} &= \left(1 + r_1\right)\left(1 + r_2\right)\left(1 + r_3\right)\cdots\left(1 + r_n\right) - 1 \\ &= \prod_{i=1}^{n}\left(1 + r_i\right) - 1 \end{aligned}$$

$R_{\mathrm{cumulative}}$

Cumulative return(누적수익률)

단위: 전체 기간의 비율 또는 퍼센트

$r_i$

$i$번째 기간의 Simple return(단순수익률)

단위: 각 기간의 비율 또는 퍼센트

$i$

현재 곱하고 있는 기간의 순번

단위: 기간 번호

$n$

전체 기간 수

단위: 기간 개수

$\prod_{i=1}^{n}$은 $i=1$인 첫 번째 기간부터 $i=n$인 마지막 기간까지 같은 형태의 값을 차례로 모두 곱하라는 뜻이다. 따라서 두 줄은 표기만 다를 뿐 같은 계산을 나타낸다.

수익률을 단순히 더할 수 있는 경우는 각 수익률이 항상 같은 원금을 기준으로 할 때뿐이다. 실제 계좌가치는 매 기간 바뀌므로 곱셈이 기본이다.

Simple interest(단리)와 Compound interest(복리)는 기준금액이 다르다

원금 100에 매 기간 10%가 일정하게 적용된다고 하자.

기간	단리 자산가치	복리 자산가치
시작	100	100
1기간	110	110
2기간	120	121
3기간	130	133.1

단리는 매번 처음 원금 100의 10인 같은 금액을 더한다. 복리는 앞에서 늘어난 자산가치 전체에 10%를 적용하므로 둘째 기간부터 차이가 생긴다.

재투자하지 않은 현금은 자동으로 복리 성장하지 않는다

배당이나 이자를 받았다고 모두 복리 효과가 생기는 것은 아니다. 받은 현금을 계좌 밖으로 꺼내 소비하면 그 돈은 다음 기간 수익률의 기준에 포함되지 않는다.

• 현금수익 재투자: 다음 기간의 투자 원금에 포함된다.
• 현금수익 미재투자: 투자 자산의 수량은 늘지 않고 현금으로 남거나 계좌 밖으로 나간다.

총수익 지수를 사용할 때는 보통 현금수익의 재투자를 가정한다. 가격 지수와 총수익 지수를 비교할 때 이 차이를 확인해야 한다.

수익률의 산술평균은 복리 결과를 보장하지 않는다

+10%와 -10%의 산술평균은 0%다. 그러나 자산가치는 100에서 99가 되었다. 산술평균은 한 기간의 전형적인 수익률을 설명할 수 있지만, 실제 여러 기간의 성장률은 곱으로 계산해야 한다.

손실과 회복에 필요한 수익률은 대칭이 아니다

100이 50이 되면 손실률은 -50%다. 다시 100이 되려면 남은 50이 50만큼 늘어야 한다.

$$\frac{50}{50} = 100\%$$

손실률	남은 자산가치	원금 회복에 필요한 수익률
-10%	90	약 +11.11%
-20%	80	+25%
-50%	50	+100%

손실이 커질수록 회복에 필요한 수익률은 더 빠르게 커진다. 변동성이 큰 경로가 장기 성장에 부담이 되는 이유 중 하나다.

복리는 좋은 결과뿐 아니라 비용과 부채에도 작동한다

복리는 마법처럼 수익을 보장하는 장치가 아니다.

• 양의 순수익이 재투자되면 자산 성장의 기준금액이 커진다.
• 손실이 발생하면 다음 회복의 기준금액이 작아진다.
• 미지급 이자가 원금에 더해지면 다음 기간의 이자 부담도 커질 수 있다.
• 매 기간 차감되는 운용보수와 거래 비용도 장기 자산가치의 기준을 계속 낮춘다.

수익률이 높아도 비용이 같은 방식으로 반복되면 최종 자산가치는 비용 전 계산보다 작다.

계산 장면

일정 수익률+10%, -10%-50%, +100%

초기값

100

기간 수익률

10%

기간 수

3기간

자산가치 경로

100→110→121→133.1

누적수익률33.1%

같은 조건의 단리 종료값은 130, 복리 종료값은 133.1입니다.

Compounding frequency(복리 빈도)와 거래 빈도를 혼동하지 않는다

정해진 연이율을 연간, 월간 또는 일간으로 나누어 적용하는 복리 빈도 공식은 이자율 계약을 설명한다. 거래 횟수를 늘리면 자동으로 더 큰 복리 수익이 생긴다는 뜻이 아니다.

거래를 자주 하면 새로운 신호가 생길 수도 있지만 스프레드, 슬리피지와 수수료도 더 자주 발생한다. 실제 전략 성과를 계산할 때는 각 기간에 얻은 수익에서 비용을 뺀 뒤, 바뀐 계좌금액을 다음 기간의 출발점으로 삼아 같은 계산을 차례로 반복해야 한다.

Backtest(백테스트)에서는 자산가치 곡선을 먼저 만든다

Backtest(백테스트)에서는 여러 기간의 수익률을 먼저 더하지 않는다. 기간이 끝날 때마다 계좌금액이 얼마가 되었는지 다시 계산하고, 그 금액을 다음 기간의 출발점으로 사용한다.

시작 계좌금액이 100이고, 비용까지 뺀 첫 번째 기간 수익률이 +5%, 두 번째 기간 수익률이 -3%라고 하자.

1. 첫 번째 기간에는 100에 1.05를 곱해 105를 구한다. 1.05는 원래 계좌금액 100%에 수익 5%를 더한 값이다.
2. 두 번째 기간에는 처음 금액 100이 아니라 바뀐 금액 105에 0.97을 곱해 101.85를 구한다. 0.97은 손실 3%를 빼고 97%가 남았다는 뜻이다.
3. 중간에 입금이나 출금이 있었다면 실제로 돈이 들어오거나 나간 시점에 계좌금액을 바꾼다. Position(포지션)의 크기를 바꿨다면 그 시점부터 달라진 투자금액을 반영한다.
4. 마지막 금액 101.85를 시작 금액 100과 비교하면 전체 Cumulative return(누적수익률)은 +1.85%다.

핵심은 매 기간의 수익과 손실이 서로 다른 계좌금액에 적용된다는 점이다. +5%와 -3%를 단순히 더하면 +2%지만, 실제 계좌금액을 차례로 계산한 결과는 +1.85%다. 계산 중에는 값을 반올림하지 않고 그대로 유지하며, 화면에 보여 줄 때만 필요한 자리수로 반올림한다.

자주 생기는 오해

• +10%와 -10%는 서로 완전히 상쇄되지 않는다.
• 산술평균 수익률 0%가 누적수익률 0%를 뜻하지 않는다.
• 현금수익을 받았다는 사실만으로 재투자 복리가 생기지 않는다.
• 손실 -50%는 수익 +50%로 회복되지 않는다.
• 거래 빈도를 늘리는 것과 복리 빈도를 높이는 것은 같은 개념이 아니다.
• 복리는 수익 원천을 만들지 않고 이미 발생한 순수익과 손실을 다음 기준에 반영한다.
• 수수료와 거래 비용을 빼지 않고 계산하면, 오랜 기간 뒤의 계좌금액이 실제보다 크게 나온다.

이해 점검

100에서 +10% 뒤 -10%를 적용하면 왜 다시 100이 되지 않는가?

첫 기간 뒤 자산가치는 110이고, 둘째 기간의 -10%는 110에 적용되기 때문이다.

$100 \times 1.10 \times 0.90 = 99$이므로 누적수익률은 -1%다.

원금 100에 매 기간 10%를 3기간 적용할 때 단리와 복리 종료값은 얼마인가?

단리는 처음 원금의 10을 세 번 더해 130이다.

복리는 $100 \times 1.10^3 = 133.1$이다.

-50% 손실 뒤 원금을 회복하려면 왜 +100%가 필요한가?

100이 50으로 줄어든 뒤에는 남은 50을 기준으로 계산하기 때문이다.

50이 다시 100이 되려면 50만큼 늘어야 하고, 이는 $\frac{50}{50} = 100\%$다.

배당을 받았지만 계좌 밖으로 인출했다면 그 배당에 자동으로 복리 효과가 생기는가?

아니다. 인출한 배당은 다음 기간 투자 원금에 포함되지 않는다.

복리 성장을 계산하려면 현금수익을 다시 투자했다는 가정이나 실제 재투자 기록이 필요하다.

완료 기준

기간별 수익률 배열을 더하지 않고 자산가치에 차례로 적용하고, 산술평균과 누적수익률의 차이, 재투자 여부와 손실 회복의 비대칭을 자신의 말로 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 전체 복리 경로를 연간 성장률 하나로 요약한다.

이 자료는 복리 계산의 일반 원리를 설명하는 교육 자료이며 투자 권유나 일정 수익률의 지속을 보장하지 않는다.