3.7 가격 변화율이라는 표현

3.7 가격 변화율이라는 표현

이 페이지는 3장의 선택 개념이다. 절대 변화량, 퍼센트 변화, 시간당 평균 변화량과 금융의 가격 ROC를 구분하고, 조회 기간이 빠진 변화율 숫자를 해석하지 않는 것이 목표다.

3.1~3.6에서는 수익률 경로를 복리로 연결하고 변동성·비용·레버리지를 반영했다. **Rate of change(변화율, ROC)**라는 말은 문맥에 따라 서로 다른 계산을 가리킬 수 있다. 먼저 무엇이 얼마나 변했는지와 어느 기간에 변했는지를 나누어야 한다.

Absolute change(절대 변화량)는 두 값의 차이다

절대 변화량은 현재값에서 처음 값을 뺀 결과다.

$$\Delta X = X_t - X_0$$

$\Delta X$

Absolute change(절대 변화량)

단위: 원래 값과 같은 단위

$X_t$

현재값

단위: 가격 또는 지표 단위

$X_0$

처음 값

단위: 현재값과 같은 단위

가격이 100원에서 110원이 되면 절대 변화량은 10원이다. 1,000원에서 1,010원이 되어도 절대 변화량은 10원이다.

두 변화의 금액은 같지만 처음 가격에 비해 차지하는 크기는 다르다.

Percentage change(퍼센트 변화)는 기준값으로 나눈다

$$\Delta_{\%} = \left(\frac{X_t}{X_0} - 1\right)\times 100\%$$

$\Delta_{\%}$

Percentage change(퍼센트 변화)

단위: 퍼센트

$X_t$

현재값

단위: 가격 또는 지표 단위

$X_0$

기준값

단위: 현재값과 같은 단위

100원에서 110원은 다음과 같다.

$$\left(\frac{110}{100} - 1\right)\times 100\% = 10\%$$

1,000원에서 1,010원은 다음과 같다.

$$\left(\frac{1{,}010}{1{,}000} - 1\right)\times 100\% = 1\%$$

변화	절대 변화량	퍼센트 변화
100원 → 110원	+10원	+10%
1,000원 → 1,010원	+10원	+1%

퍼센트 변화는 크기가 다른 자산을 상대적으로 비교할 때 유용하지만, 기준값이 무엇인지 반드시 표시해야 한다.

Average rate of change(평균 변화율)는 시간 단위가 남는다

값의 변화량을 경과한 기간 수로 나누면 기간당 평균 변화량을 구할 수 있다.

$$\overline{\Delta X} = \frac{X_t - X_0}{n}$$

$\overline{\Delta X}$

Average rate of change(기간당 평균 변화량)

단위: 원래 단위/기간

$X_t$

현재값

단위: 가격 또는 지표 단위

$X_0$

기준값

단위: 현재값과 같은 단위

$n$

경과한 기간 수

단위: 기간 개수

가격이 3기간 동안 100원에서 130원이 되었다면 절대 변화량은 30원이고 기간당 평균 변화량은 10원이다.

$$\frac{130\text{원} - 100\text{원}}{3\text{기간}} = 10\text{원/기간}$$

이 값은 $\text{원/기간}$이라는 단위를 가진다.

Price ROC(가격 변화율)는 지정한 과거 가격 대비 단순수익률이다

금융에서 자주 쓰는 $n$기간 Price ROC(가격 변화율)는 현재 가격을 $n$기간 전 가격과 비교한다.

$$\operatorname{ROC}_n = \frac{P_t}{P_{t-n}} - 1$$

$\operatorname{ROC}_n$

$n$기간 Price ROC(가격 변화율)

단위: 기간 비율 또는 퍼센트

$P_t$

현재 가격

단위: 가격 또는 통화

$P_{t-n}$

$n$기간 전 가격

단위: 현재 가격과 같은 단위

$n$

조회 기간

단위: 기간 개수

가격열이 $100 \rightarrow 105 \rightarrow 102 \rightarrow 110$이라면 현재는 110이다.

$$\begin{aligned} \operatorname{ROC}_1 &= \frac{110}{102} - 1 \approx 7.84\% \\ \operatorname{ROC}_2 &= \frac{110}{105} - 1 \approx 4.76\% \\ \operatorname{ROC}_3 &= \frac{110}{100} - 1 = 10\% \end{aligned}$$

$\operatorname{ROC}_1$

1기간 Price ROC(가격 변화율)

단위: 퍼센트

$\operatorname{ROC}_2$

2기간 Price ROC(가격 변화율)

단위: 퍼센트

$\operatorname{ROC}_3$

3기간 Price ROC(가격 변화율)

단위: 퍼센트

현재 가격은 같지만 기준 시점이 달라지면 ROC도 달라진다. 따라서 “ROC가 10%다”라는 문장에는 조회 기간이 빠져 있다.

가상 가격열

100 → 1101,000 → 1,010100 → 105 → 102 → 110

조회 기간

3기간

3기간 전과 현재 비교

100→110

절대 변화량

10

퍼센트 변화

10.00%

기간당 평균 변화량

3.33

이 값은 과거 두 시점을 비교한 표현이며 다음 가격을 예측하는 매매 신호가 아닙니다.

양의 ROC는 다음 상승을 보장하지 않는다

ROC가 0보다 크다는 것은 현재 가격이 비교 대상인 과거 가격보다 높다는 뜻일 뿐이다.

예를 들어 가격이 3기간 전에 100원이었고 이후 120원까지 올랐다가 현재 110원이 되었다고 하자. 3기간 ROC는 10%로 양수지만, 가장 최근에는 120원에서 110원으로 하락했다. 다음 기간에 다시 오를지 더 내릴지는 ROC 하나만으로 알 수 없다.

과거에 오른 자산이 당분간 더 오를 것이라고 보고 매수에 활용하는 방법을 Momentum(모멘텀) 전략이라고 한다. ROC를 이런 판단에 사용할 수는 있지만, 실제 전략으로 만들려면 다음을 확인해야 한다.

• 며칠 전 가격과 비교할 것인지
• ROC를 확인한 뒤 실제로 어느 가격에 살 수 있는지
• 수수료 같은 거래 비용을 빼고도 이익이 남는지
• 상승장과 하락장처럼 시장 상황이 달라져도 같은 방법이 통하는지

따라서 ROC가 양수면 무조건 사고 음수면 무조건 판다는 뜻이 아니다. Price ROC(가격 변화율)는 과거와 현재 가격의 차이를 보여 주는 숫자이며, 매수와 매도 규칙은 별도로 정하고 검증해야 한다.

변화율과 Acceleration(가속도)을 구분한다

가격이 오르는 것과 가격이 점점 더 빠르게 오르는 것은 다르다.

예를 들어 가격이 $100 \rightarrow 110 \rightarrow 120 \rightarrow 130$으로 변하면 매 기간 10원씩 오른다. 가격은 계속 상승하지만 오르는 금액은 항상 10원으로 같으므로 상승 속도가 빨라진 것은 아니다.

반면 가격이 $100 \rightarrow 110 \rightarrow 125 \rightarrow 145$로 변하면 상승 폭이 10원, 15원, 20원으로 커진다. 이처럼 가격이 오르는 속도까지 빨라지는 것을 Acceleration(가속도)이라고 한다.

Price ROC(가격 변화율)는 선택한 두 시점의 가격이 얼마나 달라졌는지를 보여 준다. ROC가 양수라는 사실만으로 가격 상승 속도까지 빨라지고 있다고 판단할 수는 없다.

처음 값이 0이거나 음수라면 퍼센트 변화에 주의한다

퍼센트 변화는 변화량을 처음 값과 비교하는 계산이다. 따라서 처음 값이 0이거나 음수이면 평소와 같은 방법으로 해석하기 어렵다.

처음 값이 0이고 현재 값이 10이라면 변화량은 10이다. 하지만 10을 처음 값인 0으로 나눌 수 없으므로 퍼센트 변화는 계산할 수 없다.

처음 값이 -10이고 현재 값이 -5라면 값은 5만큼 증가했다. 그러나 일반 퍼센트 변화 공식에 넣으면 다음과 같이 -50%가 나온다.

$$\begin{aligned} \left(\frac{-5}{-10} - 1\right) \times 100\% &= \left(0.5 - 1\right) \times 100\% \\ &= -50\% \end{aligned}$$

$-5 \div -10 = 0.5$는 현재 값이 처음 값의 0.5배라는 뜻이다. 퍼센트 변화는 이 비율에서 1을 빼므로 -50%가 된다. 실제로는 -10에서 -5로 값이 증가했는데 결과에는 음수가 붙어 직관과 반대로 보인다. 이런 경우에는 퍼센트보다 5만큼 증가했다처럼 Absolute change(절대 변화량)로 설명하는 편이 이해하기 쉽다.

매일 계산한 20일 ROC에는 같은 날짜가 반복해서 들어간다

오늘은 1일부터 20일까지의 가격으로 20일 ROC를 계산하고, 내일은 2일부터 21일까지의 가격으로 계산한다고 하자. 두 계산에는 2일부터 20일까지의 19일이 똑같이 들어간다. 새로 추가된 날짜는 21일 하루뿐이다.

따라서 20일 ROC를 100일 동안 매일 계산해 값이 100개 생겼더라도, 서로 완전히 다른 정보가 100개 생긴 것은 아니다. 같은 날짜의 가격이 여러 계산에 반복해서 사용되었다는 점을 고려해야 한다.

Price ROC(가격 변화율)는 일정 기간의 수익률과 같은 계산이다

3일 ROC는 현재 가격을 3일 전 가격과 비교한 수익률이고, 20일 ROC는 현재 가격을 20일 전 가격과 비교한 수익률이다. 이름은 ROC지만 계산 방법은 같은 기간의 Simple return(단순수익률)과 같다.

예를 들어 현재 가격이 110원이고 3일 전 가격이 100원이라면 3일 ROC와 3일 단순수익률은 모두 10%다.

표현	쉽게 말하면	100원에서 110원이 된 경우
Absolute change(절대 변화량)	가격이 실제로 얼마만큼 달라졌는지 계산한다	$110\text{원} - 100\text{원} = 10\text{원}$
Percentage change(퍼센트 변화)	처음 가격에 비해 몇 퍼센트 달라졌는지 계산한다	$\frac{110}{100} - 1 = 10\%$
Price ROC(가격 변화율)	현재 가격을 정해진 기간 전 가격과 비교한다	3일 동안 변했다면 3일 ROC는 10%
Average rate of change(기간당 평균 변화량)	전체 가격 변화액을 경과한 기간 수로 나눈다	2일 동안 변했다면 하루 평균 변화량은 5원

따라서 같은 기간과 같은 가격을 사용했다면 Price ROC(가격 변화율)와 Simple return(단순수익률)을 서로 다른 결과처럼 두 번 계산할 필요가 없다.

Backtest(백테스트)에서는 조회 기간과 시점을 고정한다

ROC 기반 신호를 실험한다면 결과를 보기 전에 다음을 정한다.

1. 가격 열과 조정 기준
2. 조회 기간 $n$
3. 신호 계산 시각
4. 처음 거래 가능한 시각과 가격
5. 겹치는 구간과 결측값 처리
6. 포지션 크기와 거래 비용
7. 규칙을 고정할 학습 구간과 최종 테스트 구간

여러 조회 기간을 모두 시험한 뒤 가장 좋아 보인 하나만 보고하면 Data snooping(데이터 스누핑)이 생긴다. 선택 과정 전체를 기록하고 최종 테스트 구간을 따로 둔다.

자주 생기는 오해

• 절대 변화량이 같아도 퍼센트 변화는 기준값에 따라 다르다.
• 기간당 평균 변화량은 CAGR이나 복리 평균수익률과 다르다.
• ROC가 양수라는 사실은 다음 기간 상승을 보장하지 않는다.
• 가격 ROC와 가속도는 같은 개념이 아니다.
• 임의의 ROC 임계값만으로 거품이나 매매 시점을 판정할 수 없다.
• 기준값 0에서는 퍼센트 변화를 계산할 수 없다.
• 매일 계산한 장기 ROC는 구간이 겹쳐 서로 독립적이지 않을 수 있다.

이해 점검

100 → 110과 1,000 → 1,010의 절대 변화량과 퍼센트 변화는 각각 얼마인가?

절대 변화량은 두 경우 모두 10이다.

퍼센트 변화는 각각 $\frac{10}{100} = 10\%$와 $\frac{10}{1{,}000} = 1\%$다.

가격열 100 → 105 → 102 → 110의 1기간 ROC와 3기간 ROC는 얼마인가?

1기간 ROC는 $\frac{110}{102} - 1 \approx 7.84\%$다.

3기간 ROC는 $\frac{110}{100} - 1 = 10\%$다. 조회 기간이 다르면 같은 현재 가격에서도 결과가 달라진다.

3기간 ROC가 양수이면 다음 기간에도 가격이 오른다고 결론 낼 수 있는가?

결론 낼 수 없다. 양의 ROC는 현재 가격이 3기간 전보다 높다는 과거 비교일 뿐이다.

예측 규칙으로 사용하려면 별도의 가설, 비용 후 백테스트와 표본외 검증이 필요하다.

기준값이 0일 때 퍼센트 변화를 계산할 수 없는 이유는 무엇인가?

퍼센트 변화 공식이 현재값과 기준값의 차이를 기준값으로 나누기 때문이다.

0으로 나눌 수 없으므로 절대 변화량이나 문맥에 맞는 다른 비교 기준을 사용해야 한다.

완료 기준

두 값의 절대 변화량과 퍼센트 변화를 계산하고, 기간당 평균 변화량·가격 ROC·CAGR을 구분하며 조회 기간, 0 기준값과 겹치는 구간의 문제를 설명할 수 있으면 3장을 마친다.

이 자료는 변화율 표현의 일반 원리를 설명하는 교육 자료이며 ROC만으로 투자 판단이나 가격 예측을 제공하지 않는다.