6.3 시장 수익률에 대한 민감도

6.3 시장 수익률에 대한 민감도

시장이 1%p 움직일 때 자산은 평균적으로 몇 %p 움직였을까? 다섯 기간의 Market excess return(시장 초과수익률)과 Asset excess return(자산 초과수익률)을 같은 행끼리 짝지어 Beta(베타)를 계산해 보자.

다섯 쌍의 초과수익률에서 시작한다

두 수익률 열의 평균은 모두 0%다. 자산이 매번 시장의 일정한 배수로 움직이지는 않지만, 시장이 커질수록 자산도 대체로 커진다.

1. 1. 짝짓기

   같은 기간의 시장·자산 초과수익률을 한 행에 놓습니다.

   -2% ↔ -1.9%

   →

2. 2. 시장 변동

   시장 값이 평균 0에서 얼마나 떨어졌는지 확인합니다.

   시장 변동 합계 0.0010

   →

3. 3. 공동 움직임

   두 값이 같은 방향으로 움직인 크기를 합칩니다.

   공동 움직임 합계 0.0012

   →

4. 4. 회귀 기울기

   공동 움직임을 시장 변동으로 나눠 기울기를 얻습니다.

   Beta 1.2

   →

5. 5. 잔차

   직선이 설명하지 못한 자산 고유 움직임을 분리합니다.

   잔차 ±0.5%p

시장 변동 한 단위당 공동 움직임을 계산한다

시장 초과수익률을 $x_t$, 자산 초과수익률을 $y_t$라고 두면 Beta는 두 값의 Covariance(공분산)를 시장의 Variance(분산)로 나눈 회귀 기울기다.

$$\beta_i = \frac{\operatorname{Cov}(y,x)} {\operatorname{Var}(x)}$$

$\beta_i$

자산 $i$의 Market beta(시장 베타), 시장 초과수익률에 대한 회귀 기울기

단위: 무차원

$x$

Market excess return(시장 초과수익률)

단위: 같은 기간의 소수 수익률

$y$

Asset excess return(자산 초과수익률)

단위: 같은 기간의 소수 수익률

$\operatorname{Cov}(y,x)$

자산과 시장 초과수익률의 Covariance(공분산)

단위: 기간 수익률 단위의 제곱

$\operatorname{Var}(x)$

시장 초과수익률의 Variance(분산)

단위: 기간 수익률 단위의 제곱

표본 공분산과 표본 분산은 모두 $n-1=4$로 나누므로 비율에서는 같은 분모가 약분된다.

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(y,x) &=\frac{0.0012}{4}=0.000300 \\ \operatorname{Var}(x) &=\frac{0.0010}{4}=0.000250 \\ \beta_i &=\frac{0.000300}{0.000250}=1.2 \end{aligned}$$

$\operatorname{Cov}(y,x)$

다섯 쌍으로 계산한 표본 공분산

단위: 기간 수익률 단위의 제곱

$\operatorname{Var}(x)$

다섯 시장 초과수익률의 표본 분산

단위: 기간 수익률 단위의 제곱

$\beta_i$

자산 $i$의 추정 Market beta(시장 베타)

단위: 무차원

Beta 1.2는 시장 초과수익률이 1%p 높아질 때 자산 초과수익률이 표본의 회귀 직선 위에서 평균 1.2%p 높아졌다는 뜻이다. 매 기간 자산 수익률이 시장 수익률의 정확히 1.2배였다는 뜻은 아니다.

회귀 직선과 잔차를 분리한다

시장 모형은 자산 초과수익률을 절편, 시장에 연결된 부분과 잔차로 나눈다.

$$y_t = \alpha_i + \beta_i x_t + \varepsilon_{i,t}$$

$y_t$

$t$번째 기간의 Asset excess return(자산 초과수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$\alpha_i$

Market model alpha(시장 모형 알파), 회귀 절편

단위: 기간당 소수 수익률

$\beta_i$

시장 초과수익률에 대한 회귀 기울기

단위: 무차원

$x_t$

$t$번째 기간의 Market excess return(시장 초과수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$\varepsilon_{i,t}$

시장 모형이 설명하지 못한 Residual(잔차)

단위: 기간당 소수 수익률

두 열의 평균이 0이므로 절편은 $alpha_i=0-1.2 \times 0=0$이다. 예를 들어 첫 기간의 예측값은 $1.2 \times (-2\%)=-2.4\%$이고, 관측값 -1.9%에서 예측값을 빼면 잔차는 0.5%p다.

표본 안에서 직선이 설명한 비율은 Coefficient of determination(결정계수)으로 확인한다.

$$\begin{aligned} R^2 &=1-\frac{\sum_{t=1}^{5}\varepsilon_{i,t}^2} {\sum_{t=1}^{5}(y_t-\bar{y})^2} \\ &=1-\frac{0.000100}{0.001540} \\ &\approx 0.935065 \end{aligned}$$

$R^2$

표본 안에서 시장 모형이 자산 초과수익률 변동을 설명한 비율

단위: 무차원

$\varepsilon_{i,t}$

$t$번째 기간의 Residual(잔차)

단위: 기간당 소수 수익률

$y_t$

$t$번째 기간의 Asset excess return(자산 초과수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$\bar{y}$

표본 자산 초과수익률의 평균

단위: 기간당 소수 수익률

따라서 이 가상 표본의 Alpha는 0, Beta는 1.2, 표본내 $R^2$는 약 0.935다.

같은 기울기에서 고유 충격만 키운다

고유 충격 크기

1.00배

1.00배가 본문의 기본 자료입니다. 0배에서는 모든 점이 회귀선 위에 놓이고, 크기를 높일수록 잔차와 전체 위험이 커집니다.

추정 Alpha

0.000%

추정 Beta

1.200

표본내 결정계수

0.935

상관계수

0.967

잔차 변동성

0.500%

자산 전체 변동성

1.962%

잔차가 시장 자료와 직교하도록 구성되어 고유 충격을 바꿔도 추정 Beta는 1.2로 유지됩니다.

기간	시장 초과수익률	자산 초과수익률	예측값	잔차
1	-2.0%	-1.90%	-2.40%	0.50%
2	-1.0%	-1.70%	-1.20%	-0.50%
3	0.0%	0.00%	0.00%	0.00%
4	1.0%	0.70%	1.20%	-0.50%
5	2.0%	2.90%	2.40%	0.50%

도구의 잔차 패턴은 평균이 0이고 시장 초과수익률과의 곱의 합도 0이 되도록 구성했다. 따라서 고유 충격 크기를 바꾸어도 Alpha 0과 Beta 1.2는 유지된다. 대신 잔차 변동과 자산의 전체 변동성이 커지고 표본내 $R^2$는 낮아진다.

상관계수·Beta·전체 위험을 나눈다

여기서 자산 전체 변동성은 다섯 기간의 Asset excess return(자산 초과수익률)이 평균을 중심으로 얼마나 흔들렸는지를 나타내는 Sample standard deviation(표본 표준편차)이다. 시장 연결 부분인 $\beta_i x_t$와 Residual(잔차)을 합친 실제 자산 초과수익률 $y_t$ 자체에서 계산한다.

이 표본에서 자산 초과수익률의 평균은 0이므로, 각 수익률과 평균의 차이를 제곱한 합은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} (-0.019)^2+(-0.017)^2+0^2 &=0.000650 \\ 0.007^2+0.029^2 &=0.000890 \\ 0.000650+0.000890 &=0.001540 \\ \end{aligned}$$

제곱합 0.001540을 $n-1=4$로 나눈 값이 표본 분산이고, 그 제곱근이 표본 표준편차다.

$$\begin{aligned} s_y^2 &=\frac{0.001540}{4}=0.000385 \\ s_y &=\sqrt{0.000385} \\ &\approx 0.019621=1.962\% \end{aligned}$$

$s_y$

Asset excess return sample standard deviation(자산 초과수익률 표본 표준편차)

단위: 기간당 수익률

$s_y^2$

Asset excess return sample variance(자산 초과수익률 표본 분산)

단위: 기간당 수익률의 제곱

따라서 0.000385는 Sample variance(표본 분산)이고, 그 제곱근인 약 1.962%가 자산 전체 변동성이다.

기본 자료에서 세 값은 서로 다른 질문에 답한다.

Beta가 0이어도 잔차가 크면 자산은 크게 흔들릴 수 있다. 반대로 높은 상관계수만 보고 Beta도 같다고 판단할 수 없다. Beta는 선택한 시장 지수, 표본 기간과 관측 빈도에 따라 달라지는 추정값이다.

자주 생기는 오해를 바로잡는다

• Beta 1.2는 모든 기간에 자산이 시장의 정확히 1.2배로 움직였다는 뜻이 아니다.
• Beta와 Correlation coefficient(상관계수)는 같은 값이 아니다.
• Beta가 0이면 시장과의 선형 민감도가 작을 뿐 무위험이라는 뜻이 아니다.
• 높은 표본내 $R^2$는 시장이 자산 수익률의 원인임을 증명하지 않는다.
• 과거 Beta를 변하지 않는 기업의 고정 속성으로 취급하지 않는다.

이해 점검

다섯 쌍의 자료에서 Beta 1.2는 어떻게 계산되는가?

자산과 시장 초과수익률의 표본 공분산 0.000300을 시장 초과수익률의 표본 분산 0.000250으로 나누면 1.2다.

첫 기간의 잔차가 0.5%p인 이유는 무엇인가?

Beta 1.2와 Alpha 0이 예측한 값은 -2.4%이고 관측 자산 초과수익률은 -1.9%이므로, 관측값에서 예측값을 빼면 0.5%p다.

고유 충격 크기를 바꿔도 Beta가 1.2로 유지되는 이유는 무엇인가?

잔차 패턴의 평균이 0이고 시장 초과수익률과 잔차를 곱한 합도 0이어서 회귀 절편과 기울기를 바꾸지 않도록 구성했기 때문이다.

Beta가 같아도 전체 위험과 표본내 설명력이 달라질 수 있는 이유는 무엇인가?

Beta는 시장에 연결된 기울기만 나타내며, 회귀선 밖의 잔차 크기가 달라지면 자산의 전체 변동성과 $R^2$도 달라지기 때문이다.

완료 기준과 다음 연결

짝지어진 초과수익률에서 시장 변동, 공동 움직임, 회귀 기울기와 잔차를 순서대로 구하고 Beta·상관계수·전체 위험을 구분할 수 있으면 완료다. 다음 6.4에서는 추정한 Beta를 사용해 기대수익률의 기준선을 읽는다.

이 자료의 시장·자산 초과수익률과 잔차는 회귀 원리를 설명하기 위한 가상값이며 투자 권유나 실제 투자성과를 뜻하지 않는다.