8.8 일시적 이탈이 되돌아온다는 가정

8.8 일시적 이탈이 되돌아온다는 가정

최근 네 값 안에서 마지막 값의 상대 위치가 같더라도 전체 경로가 안정적으로 오르내렸는지, 중심이 바뀌었는지, 한 방향으로 움직였는지에 따라 반전 판단이 달라지는 이유를 구분하는 것이 목표다.

숫자는 같지만 결론은 같지 않다

5.5 평균에서 표준편차 몇 배 떨어졌는지에서 배운 Z-score(표준점수)에 최근 일정 개수의 값만 사용하는 이동 구간을 결합해 보자. Rolling Z-score(이동 Z점수)는 시점이 바뀔 때마다 최근 구간의 평균과 표준편차를 다시 계산해 현재 값의 상대 위치를 나타낸다. Level shift(수준 이동)는 경로가 오르내리는 중심 자체가 갑자기 새로운 수준으로 바뀌는 현상이다.

이동 구간을 4기간, 가상 진입 임계값을 ±1로 고정하자. 놀랍게도 아래 세 경로의 마지막 값은 평균보다 모두 약 1.161895 표본표준편차 위에 있다.

세 마지막 구간의 Sample standard deviation(표본표준편차)도 모두 약 2.581989다. 마지막 네 숫자의 간격이 각각 같은 모양이고 위치만 달라졌기 때문이다. 그러나 전체 여덟 값을 보면 첫 경로는 위아래 진동하고, 두 번째는 중심 수준이 갑자기 높아졌으며, 세 번째는 한 방향으로 계속 오른다.

마지막 네 값만 손으로 검산한다

안정적 진동의 마지막 구간 [8, 12, 10, 14]를 사용하면 Sample mean(표본평균), Sample standard deviation(표본표준편차), 마지막 값의 Z점수는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{8+12+10+14}{4}=11,\\ s&=\sqrt{\frac{(8-11)^2+(12-11)^2+(10-11)^2+(14-11)^2}{4-1}} \approx2.581989,\\ z&=\frac{14-11}{2.581989}\approx1.161895. \end{aligned}$$

$\bar{x}$

마지막 네 값의 Sample mean(표본평균)

단위: 원

$s$

분모에 관측 수에서 1을 뺀 값을 사용하는 Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 원

$z$

마지막 값 14원의 Rolling Z-score(이동 Z점수)

단위: 없음

수준 이동의 마지막 네 값은 안정 경로에 10을 더한 모양이라 평균만 21로 이동한다. 강한 추세의 마지막 네 값도 간격 구조가 같아 평균 19, 표본표준편차 약 2.581989, Z점수 약 1.161895가 나온다. Z점수는 현재 구간 안의 상대 위치만 요약하며 평균이 앞으로 유지될지는 말하지 않는다.

안정적 진동수준 이동강한 추세

가상 경로안정적 진동수준 이동강한 추세

Z점수 이동 구간

4기간

가상 진입 임계값

±1.00

1. 1번째 값: 11
2. 2번째 값: 9
3. 3번째 값: 13
4. 4번째 값: 10
5. 5번째 값: 8
6. 6번째 값: 12
7. 7번째 값: 10
8. 8번째 값: 14

0분산 검증 · [10, 10, 10, 10]의 상태는 Z점수 정의 불가이며 중립 0으로 바꾸지 않습니다.

Z점수와 임계값만 본 결과

수치상 숏 후보

마지막 이동 구간

[8, 12, 10, 14]

평균

11.00

표본표준편차

2.581989

Z점수

1.161895

경로 전체를 본 평균 안정성 가정

안정적 진동 후보 · 중심 복귀가 반복되는지 추가 검증

수치상 후보와 연구 판단을 분리한다

이 페이지에서는 이동 Z점수 $z$가 $+1$보다 크면 현재 값이 최근 평균보다 상대적으로 높다고 보고 Short signal(숏 신호) 검토 대상으로 분류한다. Mean reversion(평균회귀)이 실제로 성립한다면 높아진 값이 평균 쪽으로 내려갈 가능성을 기대할 수 있기 때문이다. 반대로 $z$가 $-1$보다 작으면 평균보다 상대적으로 낮은 값이 올라갈 가능성을 기대하는 Long signal(롱 신호) 검토 대상으로 분류한다.

세 경로의 마지막 이동 Z점수는 모두 약 $1.161895$이므로 이 숫자 규칙만 적용하면 세 경로 모두 수치상 숏 후보라는 같은 표지가 붙는다. 여기서 후보는 실제로 Short position(숏 포지션)에 진입하라는 결론이 아니라, 임계값을 넘은 사례를 다음 검증 단계로 보낸다는 뜻이다. Mean reversion(평균회귀)을 주장하려면 기준 수준의 안정성, 되돌아오는 빈도와 시간, 거래비용을 결과 전에 검증해야 한다.

안정적 진동도 복귀를 보장하지 않는다. 수준 이동에서는 과거 중심으로 돌아오지 않고 새 평균 근처에 머물 수 있다. 강한 추세에서는 큰 양의 Z점수가 반복되며 역방향 포지션의 손실이 커질 수 있다. 큰 Z점수 자체는 복귀 확률, 복귀 시간이나 미래 수익을 직접 뜻하지 않는다.

0분산은 중립이 아니라 정의 불가다

[10, 10, 10, 10]처럼 모든 값이 같으면 표본표준편차가 0이다. 이때 Z점수는 0으로 정할 수 없다. 분모가 0이므로 상태를 zero-variance, 결과를 정의 불가로 남겨야 한다. 이를 중립 0으로 바꾸면 “현재 값이 평균과 정확히 같은 정상 관측”과 “계산 자체가 불가능한 관측”을 혼동한다.

연구 계약에서 먼저 고정할 것

• Rolling window(이동 구간)는 평균과 표본표준편차를 계산할 과거 관측 수다.
• Entry threshold(진입 임계값)는 수치상 후보를 구분할 기준일 뿐 복귀 보장이 아니다.
• Mean stability assumption(평균 안정성 가정)은 구조 변화가 없는지 별도로 검사하는 연구 조건이다.
• Exit rule(청산 규칙), Maximum holding period(최대 보유기간), Transaction cost(거래비용)는 결과를 보기 전에 정한다.

자주 생기는 오해

• 같은 Z점수는 같은 경로와 같은 반전 가능성을 뜻하지 않는다.
• 큰 양의 Z점수는 확정 숏 신호가 아니다.
• 최근 이동평균은 움직이지 않는 장기 균형값이 아니다.
• 수준 이동 뒤 과거 평균을 계속 쓰면 새 정상 수준을 반복해서 이탈로 오해할 수 있다.
• 추세장에서 평균회귀 포지션은 역방향 손실을 누적할 수 있다.
• 표본표준편차 0의 Z점수는 중립 0이 아니라 정의 불가다.

이해 점검

세 경로의 마지막 Z점수가 같은 이유는 무엇인가?

마지막 네 값의 간격 구조가 같아 표본표준편차가 모두 약 2.581989이고, 마지막 값이 각 평균보다 모두 3만큼 높기 때문이다.

수준 이동 경로에서 수치상 숏 후보를 바로 실행하면 안 되는 이유는 무엇인가?

평균 21이 새 정상 수준일 수 있어 과거 중심으로의 복귀 가정이 이미 깨졌을 수 있기 때문이다.

큰 Z점수가 알려 주지 않는 것은 무엇인가?

평균으로 돌아올 확률, 돌아오는 데 걸리는 시간, 비용 후 수익을 직접 알려 주지 않는다.

표본표준편차가 0이면 왜 Z점수를 0으로 바꾸면 안 되는가?

분모가 0인 계산 불가 상태를 평균과 같은 정상 관측으로 잘못 표현하게 되기 때문이다.

완료 기준

세 경로에서 평균 11, 21, 19, 공통 표본표준편차 2.581989, 공통 Z점수 1.161895를 재현하고, 같은 수치상 숏 후보라도 평균 안정성 가정이 다른 이유와 0분산 정의 불가 상태를 설명할 수 있으면 8.9 공통 특성으로 종목을 묶는 방법으로 넘어간다.

이 가상 계산은 Z점수와 평균 안정성 가정을 구분하는 교육 자료이며 실제 진입 임계값, 복귀 확률, 수익, 손실 또는 투자 성과를 보장하지 않는다.