5.1 가능한 결과를 확률로 가중한 평균

5.1 가능한 결과를 확률로 가중한 평균

이 페이지는 5장의 필수 개념이다. 가능한 결과의 값과 확률을 함께 사용해 Expected value(기댓값)를 계산하고, 한 번의 결과·최빈값·반복 평균과 구분하는 것이 목표다.

4장에서는 가능한 결과를 Probability distribution(확률분포)으로 표현했다. 이제 그 분포를 숫자 하나로 요약하되, 결과의 크기와 확률을 모두 반영한다.

가상의 투자 전략을 한 번 실행한다고 하자. 실행 결과는 다음 세 가지 가운데 하나다.

• 40% 확률로 $10{,}000\text{원}$ 손실
• 20% 확률로 이익도 손실도 없음
• 40% 확률로 $15{,}000\text{원}$ 이익

결과마다 확률을 곱해 더한다

Expected value(기댓값)는 가능한 결과에 각각의 확률을 곱한 뒤 모두 더한 값이다. 먼저 앞의 세 결과로 직접 계산해 보자.

가능한 결과	확률	가중 기여도
$-10{,}000\text{원}$	40%	$-4{,}000\text{원}$
$0\text{원}$	20%	$0\text{원}$
$15{,}000\text{원}$	40%	$6{,}000\text{원}$

손실 결과는 전체 평균을 $4{,}000\text{원}$ 낮추고, 이익 결과는 전체 평균을 $6{,}000\text{원}$ 높인다. 이 값을 모두 더한다.

$$(-10{,}000\text{원})\times0.40 + (0\text{원})\times0.20 + (15{,}000\text{원})\times0.40 = 2{,}000\text{원}$$

따라서 이 분포의 Expected value(기댓값)는 $2{,}000\text{원}$이다. 결과 세 개를 단순히 더해 3으로 나눈 값이 아니라, 각 결과가 나올 확률까지 반영한 평균이다.

계산을 일반식으로 나타낸다

가능한 결과가 많아져도 계산 원리는 같다.

$$E[X] = \sum_{i=1}^{k} x_i p_i$$

$E[X]$

Random variable(확률변수) $X$의 Expected value(기댓값)

단위: $X$와 같은 단위

$x_i$

$i$번째 가능한 결과값

단위: $X$와 같은 단위

$p_i$

$i$번째 결과가 나타날 확률

단위: 0~1의 무차원 비율

$k$

가능한 결과가 모두 몇 개인지를 나타내는 수

단위: 개

각 확률은 0 이상이어야 하고, 모든 확률의 합은 1이어야 한다. 이 조건이 깨지면 가능한 결과가 빠졌거나 같은 결과를 중복 계산했을 수 있다.

계산한 기댓값을 다른 값과 구분한다

이제 계산 결과를 알고 있으므로 서로 비슷해 보이는 네 가지 개념을 비교할 수 있다.

개념	무엇을 뜻하는가	이 사례에서
Realized value(실현값)	한 번 실행해 실제로 나온 결과	$-10{,}000\text{원}$, $0\text{원}$, $15{,}000\text{원}$ 중 하나
Mode(최빈값)	나올 확률이 가장 큰 결과	$-10{,}000\text{원}$과 $15{,}000\text{원}$이 각각 40%로 공동 최빈값
Expected value(기댓값)	모든 결과에 확률을 반영해 구한 평균	$2{,}000\text{원}$
Sample mean(표본평균)	여러 번 실행해 실제로 나온 결과들의 평균	어떤 결과가 나왔는지에 따라 달라짐

기댓값 $2{,}000\text{원}$은 가능한 세 결과 가운데 하나가 아니다. 한 번 실행하면 $-10{,}000\text{원}$, $0\text{원}$, $15{,}000\text{원}$ 가운데 하나가 나온다.

실제로 이 전략을 네 번 실행했다고 하자. 나온 결과는 차례대로 $-10{,}000\text{원}$, $15{,}000\text{원}$, $15{,}000\text{원}$, $-10{,}000\text{원}$이다.

먼저 네 결과를 모두 더한다.

$$\begin{aligned} &-10{,}000\text{원}+15{,}000\text{원} \\ &\quad+15{,}000\text{원}-10{,}000\text{원} \\ &=10{,}000\text{원} \end{aligned}$$

합계 $10{,}000\text{원}$을 실행 횟수 4로 나눈다.

$$\frac{10{,}000\text{원}}{4} = 2{,}500\text{원}$$

이렇게 실제로 나온 결과들로 구한 평균이 Sample mean(표본평균)이다. 앞에서 확률로 계산한 기댓값은 $2{,}000\text{원}$이지만, 네 번의 실제 결과로 계산한 표본평균은 $2{,}500\text{원}$이다. 실행 횟수가 적으면 두 값은 다를 수 있다. 같은 조건으로 반복하는 횟수가 많아질수록 표본평균은 기댓값에 가까워질 수 있다.

결과 1

결과값(원)확률(%)

가중 기여도: -₩4,000

결과 2

결과값(원)확률(%)

가중 기여도: ₩0

결과 3

결과값(원)확률(%)

가중 기여도: ₩6,000

기댓값₩2,000

확률 합

100%

기댓값은 한 번에 받을 보장 금액이 아닙니다.

기댓값이 양수여도 계속 실행할 수 있어야 한다

Loss probability(손실확률)는 결과가 $0\text{원}$보다 작을 확률을 모두 더한 값이다. 이 사례에서 손실 결과는 $-10{,}000\text{원}$ 하나이므로 손실확률은 40%다.

기댓값은 $2{,}000\text{원}$으로 양수지만, 손실이 나면 $10{,}000\text{원}$을 잃는다. 기댓값이 양수라는 말은 매번 이익을 얻는다는 뜻이 아니다.

예를 들어 가진 돈이 $10{,}000\text{원}$뿐인데 첫 실행에서 $10{,}000\text{원}$을 잃으면 다음 실행을 할 수 없다. 여러 번 반복해야 표본평균이 기댓값에 가까워질 수 있지만, 반복할 자금이 먼저 사라진 것이다.

따라서 기댓값과 함께 다음 질문도 확인해야 한다.

• 한 번 실행했을 때 가장 많이 잃을 수 있는 금액은 얼마인가?
• 손실이 여러 번 연속으로 나와도 계속 실행할 자금이 있는가?
• 수수료와 체결 비용을 빼고도 기댓값이 양수인가?
• 앞으로도 결과와 확률이 지금과 비슷하게 유지될까?

마지막 질문처럼 결과의 분포가 시간에 따라 크게 달라지지 않는다는 가정을 Stationarity(정상성)라고 한다. 시장 환경이 바뀌어 손실확률이 높아지면 과거에 계산한 기댓값을 그대로 사용할 수 없다.

자주 생기는 오해

• 기댓값 $2{,}000\text{원}$이 가장 자주 나오는 결과라는 뜻은 아니다. 이 사례에서는 한 번 실행할 때 $2{,}000\text{원}$이 나오는 경우가 아예 없다.
• 기댓값이 양수여도 다음 실행에서 반드시 이익이 나는 것은 아니다. 이 사례도 다음 실행에서 손실이 날 확률이 40%다.
• 세 결과를 더해 3으로 나누면 안 된다. 결과마다 나올 확률이 다를 수 있으므로, 각 결과에 그 확률을 곱해 더해야 한다.
• 실제로 네 번 실행해 구한 Sample mean(표본평균)이 $2{,}500\text{원}$이어도 계산이 틀린 것은 아니다. 실행 횟수가 적으면 기댓값 $2{,}000\text{원}$과 차이가 날 수 있다.
• 과거의 표본평균이 양수였다고 해서 앞으로도 이익이 난다고 확정할 수는 없다. 시장 환경이 바뀌면 결과와 확률도 달라질 수 있기 때문이다.

이해 점검

기댓값 2,000원을 한 번의 실행에서 받을 확률은 얼마인가?

예시의 가능한 결과에 2,000원이 없으므로 0%다. 기댓값은 가능한 결과 그 자체가 아니라 확률가중평균이다.

결과가 -10,000원과 15,000원 두 개뿐이라면 두 값을 더해 2로 나누면 되는가?

두 결과의 확률이 각각 50%일 때만 그렇다. 확률이 다르면 각 값에 해당 확률을 곱해야 한다.

양의 기댓값인데도 전략을 반복하지 못할 수 있는 이유는 무엇인가?

큰 손실, 자본 제약, 비용, 분포 변화와 연속 손실 때문에 장기 반복에 도달하기 전에 중단될 수 있기 때문이다.

대수의 법칙은 다음 한 번의 결과를 기댓값으로 만든다는 뜻인가?

아니다. 같은 조건의 반복에서 누적 표본평균이 안정되는 성질이지 다음 개별 결과를 정하는 법칙이 아니다.

완료 기준

세 결과의 값과 확률에서 가중 기여도와 기댓값을 계산하고, 기댓값·최빈 결과·한 번의 결과·손실확률이 서로 다른 정보라고 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 두 변수가 함께 움직이는 방향을 원래 단위로 측정한다.

이 자료의 금액과 확률은 통계 개념을 설명하기 위한 가상값이며 투자 권유나 미래 성과 예측이 아니다.