3.3 시작값과 끝값을 잇는 연평균 성장률

3.3 시작값과 끝값을 잇는 연평균 성장률

이 페이지는 3장의 필수 개념이다. 여러 해의 복리 결과를 일정한 연간 성장률 하나로 바꾸되, 그 숫자가 중간 경로와 위험을 숨긴다는 점까지 함께 읽는 것이 목표다.

3.2에서는 기간별 수익률을 곱해 자산가치 경로를 만들었다. 경로가 여러 해라면 시작값과 끝값을 정확히 연결하는 하나의 연간 복리율을 구할 수 있다. **Compound annual growth rate(연평균 성장률, CAGR)**는 자산이 매년 같은 비율로 성장했다고 가정할 때 시작값을 끝값으로 만드는 일정한 연간 성장률이다.

CAGR은 두 끝점을 연결하는 계산값이다

말로는 전체 성장 배수의 연수만큼 제곱근을 구한 뒤 1을 뺀 값이다.

$$R_{\mathrm{CAGR}} = \left(\frac{V_{\mathrm{end}}}{V_{\mathrm{begin}}}\right)^{\frac{1}{t}} - 1$$

$R_{\mathrm{CAGR}}$

Compound annual growth rate(연평균 성장률)

단위: 연간 비율 또는 퍼센트

$V_{\mathrm{begin}}$

시작값

단위: 가격 또는 통화

$V_{\mathrm{end}}$

종료값

단위: 시작값과 같은 단위

$t$

전체 기간을 연으로 나타낸 값

단위: 년

시작값 100이 2년 뒤 121이 되었다고 하자.

$$\begin{aligned} R_{\mathrm{CAGR}} &= \left(\frac{121}{100}\right)^{\frac{1}{2}} - 1 \\ &= \sqrt{1.21} - 1 \\ &= 1.10 - 1 = 10\% \end{aligned}$$

$R_{\mathrm{CAGR}}$

Compound annual growth rate(연평균 성장률)

단위: 연간 퍼센트

매년 10%가 일정하게 적용되었다면 100 → 110 → 121이 된다. 실제 경로가 달랐더라도 시작 100, 종료 121, 기간 2년이면 CAGR은 10%다.

Annualized return(연환산 수익률)과 계산은 같을 수 있지만 출발 질문이 다르다

3.1의 연환산 수익률은 한 기간의 총수익률을 1년 기준으로 바꾸는 넓은 표현이다. 외부 현금흐름이 없는 하나의 자산이 시작값에서 끝값으로 변한 경우, 그 연환산 계산은 CAGR 공식과 같다.

• 연환산 수익률: 주어진 기간수익률을 1년 단위로 바꾸는 표현
• CAGR: 시작값과 끝값을 연결하는 일정한 연간 복리 성장률

두 용어가 같은 숫자를 낼 수 있어도 CAGR을 실제 매년 관측한 수익률이라고 부르면 안 된다.

같은 CAGR에도 전혀 다른 경로가 숨어 있다

다음 두 경로를 비교한다.

경로	1년 뒤	2년 뒤	2년 CAGR
고른 경로	110	121	10%
흔들린 경로	150	121	10%

흔들린 경로는 150에서 121로 내려왔다.

$$\frac{121}{150} - 1 \approx -19.33\%$$

과거 고점에서 이후 저점까지의 가장 큰 하락률을 **Maximum drawdown(최대낙폭)**이라고 한다. 두 경로의 CAGR은 같지만 투자자가 견뎌야 한 중간 손실과 매도 위험은 다르다.

CAGR은 산술평균 수익률이 아니다

첫해 +50%, 둘째 해 -19.33%의 산술평균은 약 15.34%다. 하지만 이 값을 매년 복리 적용하면 끝값 121이 되지 않는다. CAGR은 수익률의 단순 평균이 아니라 전체 성장 배수를 정확히 맞추는 기하적 계산이다.

$$\begin{aligned} 1.50 \times 0.8067 &\approx 1.21 \\ \sqrt{1.21} - 1 &= 10\% \end{aligned}$$

연도별 수익률의 평균을 보고 싶다면 무엇을 평균내는지 별도로 정해야 한다. 실제 자산 성장률을 요약하려면 복리 배수를 보존해야 한다.

외부 입출금이 있으면 끝점 CAGR을 운용 성과로 쓰지 않는다

처음 100을 투자하고 1년 뒤 100을 추가로 넣어 2년 뒤 220이 되었다고 하자. 100 → 220만 CAGR 공식에 넣으면 추가 입금까지 성장으로 센다.

외부 현금흐름이 있으면 다음 질문을 먼저 고른다.

• 운용 의사결정 자체를 비교하려는가? Time-weighted return(시간가중수익률)을 검토한다.
• 투자자가 넣고 뺀 금액과 시점을 포함한 경험을 보려는가? Money-weighted return(금액가중수익률)을 검토한다.

CAGR은 외부 현금흐름이 없는 시작값과 끝값을 연결할 때 가장 명확하다.

시작값·끝값과 기간의 경계를 확인한다

CAGR의 기본 공식은 시작값과 끝값이 모두 양수이고 기간이 0보다 클 때 사용한다.

• 종료값이 시작값보다 작지만 양수이면 CAGR은 음수가 될 수 있다.
• 시작값이 0이면 성장 배수를 나눌 수 없다.
• 종료값이 0이면 자산이 완전히 소진된 특별한 상태이므로 일반 CAGR 비교에서 분리한다.
• 손익처럼 음수가 가능한 지표에는 같은 공식을 기계적으로 적용하면 해석이 깨질 수 있다.

예를 들어 100이 2년 뒤 81이 되었다면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \left(\frac{81}{100}\right)^{\frac{1}{2}} - 1 &= 0.90 - 1 \\ &= -10\% \end{aligned}$$

날짜가 정확히 연 단위가 아니면 기간도 소수 연수로 바꾼다

보유 기간이 정확히 2년이 아니라면 실제 경과 일수를 연수로 환산해 분모에 넣는다. 어떤 날짜 규칙을 사용했는지 기록하고 비교 대상에 같은 규칙을 적용한다.

시작일과 종료일을 단순히 연도 숫자만 빼면 6개월 차이도 1년으로 잘못 셀 수 있다. 날짜와 시간대, 거래일 기준을 코드와 결과표에 남긴다.

시작값

100

중간값

150

끝값

121

전체 기간(년)

2

세 시점의 자산가치

100→150→121

CAGR

10.00%

최대낙폭

19.33%

중간값은 최대낙폭을 바꾸지만 시작값·끝값·기간으로 계산한 CAGR은 바꾸지 않습니다.

CAGR이 알려 주는 것과 숨기는 것을 나란히 본다

알려 주는 것	알려 주지 않는 것
시작값과 끝값을 잇는 일정 연간 복리율	실제 각 연도의 수익률
기간이 다른 성장 배수의 비교 기준	중간 변동성과 최대낙폭
과거 끝점 요약	미래 수익률과 손실 가능성
비용·현금수익을 포함한 끝값의 성장률	어떤 비용과 현금수익을 포함했는지

CAGR을 비교할 때는 같은 기간, 같은 통화, 같은 비용·현금수익 기준인지 확인한다. 서로 다른 시장 구간을 쓴 숫자는 같은 공식으로 계산했어도 공정한 비교가 아닐 수 있다.

Backtest(백테스트)에서는 CAGR 옆에 경로 지표를 둔다

백테스트 결과표에 CAGR 하나만 두지 않는다. 최소한 다음을 함께 본다.

• 기간별 수익률과 자산가치 곡선
• Volatility(변동성)
• Maximum drawdown(최대낙폭)
• 비용 전·후 결과
• 표본 시작일과 종료일
• 외부 현금흐름과 재투자 가정

끝점이 좋아도 중간에 담보 조건을 위반했거나 거래할 수 없는 가격을 사용했다면 그 CAGR은 실행 가능한 성과가 아니다.

자주 생기는 오해

• CAGR 10%가 실제로 매년 정확히 10%를 벌었다는 뜻은 아니다.
• 같은 CAGR은 같은 위험과 같은 최대낙폭을 뜻하지 않는다.
• 연도별 수익률의 산술평균을 CAGR이라고 부르면 안 된다.
• 외부 입금을 포함한 끝값으로 계산한 CAGR은 운용 성과를 과대평가할 수 있다.
• 높은 CAGR만으로 더 좋은 투자나 전략이라고 결론 낼 수 없다.
• 과거 CAGR을 미래 수익률로 그대로 연장하면 안 된다.
• 시작값·끝값·기간과 재투자 기준이 다른 CAGR을 숫자만 비교하면 안 된다.

이해 점검

100이 2년 뒤 121이 되었을 때 CAGR은 얼마인가?

$\left(\frac{121}{100}\right)^{\frac{1}{2}} - 1 = 10\%$다.

매년 10%가 일정했다는 뜻이 아니라 시작과 끝을 잇는 일정한 복리율이다.

100 → 110 → 121과 100 → 150 → 121의 CAGR이 같은데 위험이 다른 이유는 무엇인가?

CAGR은 시작값, 끝값과 기간만 사용하므로 중간값을 보지 않는다.

두 번째 경로에는 150에서 121로 약 19.33% 하락한 구간이 있어 최대낙폭과 중간 위험이 더 크다.

100이 2년 뒤 81이 되면 CAGR은 음수가 될 수 있는가?

그렇다. 두 값이 모두 양수이므로 공식을 적용할 수 있다.

$\left(\frac{81}{100}\right)^{\frac{1}{2}} - 1 = -10\%$다.

중간에 큰 추가 입금이 있었다면 시작값과 끝값만으로 CAGR을 운용 성과라고 할 수 있는가?

할 수 없다. 끝값 증가에는 운용수익과 외부 입금이 함께 섞여 있기 때문이다.

입출금 시점을 반영해 시간가중 또는 금액가중 방식 가운데 질문에 맞는 방법을 선택해야 한다.

완료 기준

양의 시작값·끝값과 기간으로 CAGR을 계산하고, 같은 CAGR을 가진 두 경로의 최대낙폭이 다를 수 있는 이유와 외부 현금흐름이 있을 때 끝점 공식을 멈춰야 하는 이유를 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 CAGR이 숨긴 경로의 흔들림을 수익률 표준편차로 측정한다.

이 자료는 CAGR의 계산과 한계를 설명하는 교육 자료이며 과거 성장률의 지속이나 미래 수익을 보장하지 않는다.