4.9 반복 평균이 장기 평균에 가까워지는 이유

4.9 반복 평균이 장기 평균에 가까워지는 이유

이 페이지는 4장의 필수 개념이다. 같은 확률모형을 반복할 때 한 실행의 표본평균이 장기 평균 주변에서 안정되는 의미와 한계를 설명하는 것이 목표다.

4.8까지는 확률을 알고 계산했다. 실제 연구에서는 과거 표본으로 알 수 없는 확률이나 평균을 추정한다. 시행 수가 늘면 왜 평균이 덜 흔들리는 것처럼 보일까?

0과 1의 평균은 성공비율이다

Bernoulli trial(베르누이 시행)은 성공을 1, 실패를 0으로 표현하는 시행이다. 성공확률이 $p$라면 장기 평균의 기준은 $p$다. 처음 $n$개 관측의 Sample mean(표본평균)은 다음과 같다.

$$\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$

$X_i$

$i$번째 Bernoulli trial(베르누이 시행)의 결과

단위: 성공 1, 실패 0

$n$

현재까지의 시행 수

단위: 시행 개수

$\bar{X}_n$

처음 $n$개 결과의 Sample mean(표본평균)

단위: 성공비율

예를 들어 10회 중 7회 성공이면 표본평균은 0.7, 즉 70%다. 성공과 실패의 순서는 달라도 성공 수가 같으면 마지막 표본평균은 같다.

반복 횟수가 늘면 누적 평균이 덜 흔들린다

공정한 동전을 반복해서 던지고 앞면을 1, 뒷면을 0으로 기록해 보자. 초반에는 동전을 한 번 더 던질 때마다 누적 앞면 비율이 크게 바뀐다. 하지만 매번 같은 규칙으로 동전을 던지고 앞선 결과가 다음 결과를 바꾸지 않는다면, 반복 횟수가 많아질수록 누적 앞면 비율은 50% 주변에서 덜 흔들린다. Law of large numbers(대수의 법칙)는 이러한 장기적인 안정화를 설명한다.

$$\text{누적 앞면 비율} \longrightarrow 50\%$$

화살표는 동전을 한 번 더 던질 때마다 비율이 반드시 50%에 가까워진다는 뜻이 아니다. 1,000회까지의 누적 앞면 비율이 100회 때보다 잠시 더 멀어질 수도 있다. 반복을 충분히 늘리면 50%에서 크게 벗어난 상태가 계속될 가능성이 작아진다는 뜻이다.

성공확률

55%

최대 시행 수10회100회1,000회10,000회다른 경로 보기

마지막 누적평균54.84%

10회

50.00%

100회

54.00%

1,000회

56.30%

10,000회

54.84%

목표 확률은 55%입니다. 중간 경로가 단조롭게 가까워질 필요는 없습니다.

10회와 10,000회의 불확실성은 다르다

성공확률이 55%인 가상 시행을 생각하자. 10회에서는 성공 한 번이 비율을 10퍼센트포인트 바꾸지만 10,000회에서는 0.01퍼센트포인트만 바꾼다. 그래서 큰 표본의 평균은 개별 관측 하나에 덜 민감하다.

그러나 성공확률 55%는 수익 전략을 뜻하지 않는다. 평균 이익과 평균 손실, 비용, 연속 손실과 표본 의존성이 빠져 있다.

Gambler's fallacy(도박사의 오류)는 독립 시행을 잘못 읽는다

공정한 동전에서 앞면이 여러 번 나왔다고 다음 시행의 뒷면 확률이 50%보다 높아지는 것은 아니다. 독립 시행에서는 과거 순서가 다음 확률을 바꾸지 않는다. 대수의 법칙은 장기 비율이 50% 주변에서 안정된다는 말이지 단기 불균형을 다음 결과가 반드시 보상한다는 말이 아니다.

큰 표본은 편향된 질문을 고치지 못한다

표본 수를 늘리면 같은 모형 안의 random error(무작위 오차)는 줄어들 수 있다. 다음 문제는 자동으로 해결되지 않는다.

• 특정 시기나 살아남은 종목만 고른 Sampling bias(표본편향)
• 연속된 수익률이나 겹치는 포지션의 강한 의존성
• 평균과 분포가 시간에 따라 바뀌는 구조 변화
• 거래비용, 상장폐지와 체결 실패 누락
• 애초에 잘못 정의한 성공 사건

백테스트 관측 수 100만 개가 있어도 같은 하루의 중복 데이터라면 독립적인 정보 100만 개가 아니다.

자주 생기는 오해

• 많이 반복해도 다음 동전이 앞면인지 뒷면인지는 알 수 없다.
• 누적 평균은 오르내리면서 안정되므로 매번 장기 평균에 가까워지는 것은 아니다.
• 데이터를 많이 모아도 한쪽으로 치우친 데이터나 잘못된 가정은 그대로 남는다.
• 손실이 여러 번 이어졌다고 해서 다음번에 이익이 날 가능성이 저절로 높아지지는 않는다.
• 성공 횟수가 많아도 한 번의 손실이 크거나 비용이 많이 들면 전체 결과는 손실일 수 있다.

이해 점검

베르누이 결과 1, 0, 1, 1의 표본평균은 얼마인가?

합은 3이고 시행 수는 4이므로 $3/4=75\%$다.

대수의 법칙이 표본평균의 단조 수렴을 보장하는가?

아니다. 표본평균은 중간에 멀어질 수 있으며 장기적인 수렴 성질을 말한다.

연속 실패 뒤 독립적인 다음 시행의 성공확률이 높아지는가?

아니다. 독립 시행에서는 과거 결과가 다음 성공확률을 바꾸지 않는다.

표본 수를 늘려도 잘못된 결과가 남을 수 있는 이유는 무엇인가?

표본 선택이 편향되거나 관측이 의존적이고 데이터 생성 과정이 변하면 같은 오류를 더 정밀하게 측정할 수 있기 때문이다.

완료 기준

0·1 결과 배열에서 누적 표본평균을 계산하고, 시행 수 증가가 평균을 안정시키는 의미를 설명하되 단조 수렴·다음 결과 예측·편향 제거를 보장하지 않는다고 말할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 한 경로가 아니라 반복해서 얻은 표본평균들의 분포를 본다.

이 자료는 대수의 법칙을 설명하는 교육 자료이며 가상 성공확률을 실제 투자 성과 가능성으로 해석하지 않는다.