4.6 두 사건이 함께 일어날 확률

4.6 두 사건이 함께 일어날 확률

이 페이지는 4장의 필수 개념이다. 두 사건이 동시에 일어난 관측을 2행 2열 표에서 찾고, 결합확률·주변확률·독립을 구분하는 것이 목표다.

4.5까지는 확률변수 하나의 분포를 보았다. 실제 연구에서는 신호가 발생했다와 다음 수익률이 양수였다처럼 두 사건의 겹침을 자주 묻는다.

A이면서 B는 교집합이다

사건 $A$와 사건 $B$가 함께 일어나는 부분을 Intersection(교집합)이라고 하고 $A\cap B$로 쓴다. Joint probability(결합확률)는 그 교집합의 확률이다.

$$P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{N}$$

$A$

첫 번째 Event(사건)

단위: 관측의 집합

$B$

두 번째 Event(사건)

단위: 관측의 집합

$n(A \cap B)$

두 사건이 함께 일어난 관측 수

단위: 관측 개수

$N$

전체 관측 수

단위: 관측 개수

$P(A \cap B)$

두 사건의 Joint probability(결합확률)

단위: 0~1의 무차원 비율

네 칸의 빈도표로 겹침과 주변을 함께 본다

가상 관측 100개를 다음처럼 분류하자.

	B	B 아님	행 합계
A	30	20	50
A 아님	10	40	50
열 합계	40	60	100

교집합은 왼쪽 위 30개다. Marginal probability(주변확률)는 한 사건만 보고 행이나 열 전체를 합친 확률이다.

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \frac{30}{100}=30\% \\ P(A) &= \frac{50}{100}=50\% \\ P(B) &= \frac{40}{100}=40\% \end{aligned}$$

$P(A \cap B)$

A와 B의 Joint probability(결합확률)

단위: 퍼센트

$P(A)$

A의 Marginal probability(주변확률)

단위: 퍼센트

$P(B)$

B의 Marginal probability(주변확률)

단위: 퍼센트

2×2 관측 빈도

A이면서 BA이면서 B 아님A 아님이면서 B둘 다 아님

사건 A와 B의 관측 빈도표

구분	B	B 아님	행 합
A	30	20	50
A 아님	10	40	50
열 합	40	60	100

전체 100개 관측

P(A ∩ B)30.00%

P(A)50.00%

P(B)40.00%

독립이라면 교집합은 20.00%여야 합니다. 실제 표의 값은 30.00%입니다.

독립이면 주변확률의 곱과 교집합이 같다

Independent events(독립사건)는 한 사건이 일어났다는 정보가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는 관계다.

예를 들어 동전 한 개와 주사위 한 개를 각각 던진다고 하자. 사건 $A$를 동전이 앞면이다, 사건 $B$를 주사위가 6이다로 정의하면, 동전이 앞면이라는 결과를 알아도 주사위가 6일 확률은 여전히 $\frac{1}{6}$이다. 따라서 두 사건은 독립이다.

독립이면 다음 식이 성립한다.

$$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$

$P(A \cap B)$

A와 B가 함께 일어날 확률

단위: 0~1의 무차원 비율

$P(A)$

A의 주변확률

단위: 0~1의 무차원 비율

$P(B)$

B의 주변확률

단위: 0~1의 무차원 비율

예시 표를 관측 개수로 풀어 보자. 전체 100개 중 B가 일어난 관측은 40개이므로 B의 비율은 40%다. A와 B가 독립이라면, A가 일어난 50개 안에서도 B의 비율은 그대로 40%여야 한다. 따라서 A와 B가 함께 일어난 관측은 20개, 즉 전체의 $50\%\times40\%=20\%$가 되어야 한다.

하지만 실제로는 A가 일어난 50개 중 B도 일어난 관측이 30개다. A가 일어났다는 사실을 알기 전에는 B의 확률이 40%였지만, A가 일어난 경우만 보면 B의 비율은 $\frac{30}{50}=60\%$로 높아진다. A라는 정보가 B의 확률을 바꾸므로 이 관측표는 독립 관계와 맞지 않는다.

다만 이 표만으로 30개가 나온 원인까지 알 수는 없다. 두 사건이 실제로 관련되어 있을 수도 있고, 두 사건에 함께 영향을 주는 다른 요인이 있을 수도 있으며, 관측 수가 적어서 우연히 차이가 생겼을 수도 있다. 이러한 가능성은 이후의 통계 검정에서 구분한다.

상호배타와 독립은 반대에 가까운 질문이다

Mutually exclusive events(상호배타 사건)는 함께 일어날 수 없어 교집합 확률이 0이다. 확률이 양수인 두 상호배타 사건에서 A가 일어났다는 정보는 B가 일어나지 않았음을 알려 주므로 독립이 아니다.

관계	묻는 질문	대표 식
상호배타	두 사건이 함께 가능한가?	$P(A\cap B)=0$
독립	한 사건의 정보가 다른 확률을 바꾸는가?	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

퀀트 연구에서는 같은 시점의 정의부터 맞춘다

예를 들어 매수 신호가 월요일 장 마감 후에 확정되었다면, 그 신호의 결과는 화요일 이후의 수익률로 확인해야 한다. 이미 지나간 월요일 수익률과 신호를 짝지으면, 월요일이 끝난 뒤에 알게 된 정보를 월요일부터 알고 있었던 것처럼 계산하게 된다. 그러면 신호의 효과가 실제보다 좋아 보일 수 있다.

따라서 표의 한 행이 월요일 장 마감 후 신호와 화요일 수익률처럼 어느 시점부터 어느 시점까지를 묶는지 먼저 정해야 한다. 가격이 빠진 날은 제외할지, 같은 날 신호가 여러 번 발생하면 한 번으로 셀지도 미리 정해야 모든 관측을 같은 기준으로 비교할 수 있다.

두 사건이 자주 함께 나타난다고 해서 하나가 다른 하나를 직접 일으켰다고 볼 수는 없다. 예를 들어 상승장에서는 매수 신호도 자주 나오고 주가가 오르는 날도 많아질 수 있다. 이때 매수 신호 때문에 주가가 올랐다기보다, 상승장이라는 같은 상황이 두 사건을 함께 늘렸을 가능성이 있다.

자주 생기는 오해

• 결합확률은 두 주변확률을 더한 값이 아니다.
• 독립일 때만 결합확률을 주변확률의 곱으로 계산한다.
• 상호배타와 독립은 같은 말이 아니다.
• 관측표의 차이 하나만으로 모집단 의존성이나 인과를 확정할 수 없다.
• 시점 정의가 어긋난 결합표는 계산이 맞아도 연구 질문에 답하지 못한다.

이해 점검

예시 표에서 A와 B가 함께 일어난 관측은 몇 개인가?

왼쪽 위 교집합 칸의 30개다. 전체 100개로 나누면 결합확률은 30%다.

예시 표에서 A와 B의 주변확률은 각각 얼마인가?

A의 행 합은 50개여서 50%, B의 열 합은 40개여서 40%다.

독립이라면 이 표의 교집합 확률은 얼마여야 하는가?

$0.5\times0.4=0.2$, 즉 20%다. 실제 30%와 다르다.

양의 확률을 가진 상호배타 사건이 독립일 수 없는 이유는 무엇인가?

한 사건이 일어나면 다른 사건은 일어날 수 없다는 정보를 주기 때문에 다른 사건의 확률을 바꾼다.

완료 기준

2행 2열 빈도표에서 교집합과 행·열 합계를 찾고 결합·주변확률을 계산하며, 독립과 상호배타의 차이를 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 B가 일어났다는 정보 안에서 분모를 다시 정한다.

이 자료는 결합확률의 일반 원리를 설명하는 교육 자료이며 관측된 연관성을 투자 인과나 수익 기회로 단정하지 않는다.