8.5 최근 값에 더 큰 가중치를 주는 평균

8.5 최근 값에 더 큰 가중치를 주는 평균

가상 가격 [10, 12, 14, 20, 18, 22]원에서 3기간 Exponential moving average(지수이동평균, EMA)를 초기화하고 새 가격을 한 개씩 반영해 전체 시계열을 재현하는 것이 목표다.

먼저 초기값을 어디에 놓을지 정한다

8.4의 Simple moving average(단순이동평균, SMA)는 고정 창 안의 가격에 같은 가중치를 주고 창 밖 가격을 완전히 제외했다. Exponential moving average(지수이동평균, EMA)는 최근 가격과 직전 EMA를 다시 섞어 오래된 영향이 점차 줄게 한다.

Recursive calculation(재귀 계산)은 직전 계산 결과를 다음 계산의 입력으로 다시 사용하는 방식이다. 아래 표에서 첫 EMA를 만든 뒤에는 새 가격과 직전 EMA를 섞은 결과가 다시 다음 기간의 입력이 된다.

3기간 EMA를 계산할 가상 가격과 단계

기간	가상 가격	EMA 상태
1	10원	계산 전 null
2	12원	계산 전 null
3	14원	첫 세 가격의 SMA로 초기화
4	20원	첫 재귀 계산
5	18원	다음 재귀 계산
6	22원	마지막 재귀 계산

초기화 방법을 밝히지 않으면 같은 기간 3 EMA라도 초반 값이 달라질 수 있다. 이 페이지와 계산 함수는 첫 세 가격의 SMA를 첫 EMA로 고정한다. 첫 두 결과는 가격 0이나 중립 신호가 아니라 계산 전 null이다.

첫 세 가격으로 12원에서 시작한다

기간 3의 Smoothing factor(평활계수)는 다음과 같다.

$$\alpha=\frac{2}{n+1}=\frac{2}{3+1}=0.5,\qquad 1-\alpha=0.5$$

$\alpha$

새로 들어온 가격에 주는 Smoothing factor(평활계수)

예시 값과 단위: 0.5, 단위 없음

$1-\alpha$

직전 EMA에 남기는 가중치

예시 값과 단위: 0.5, 단위 없음

$n$

EMA에 대응시키는 기간

예시 값과 단위: 3기간

최근 가격 가중치 0.5와 직전 EMA 가중치 0.5를 더하면 1이다. 따라서 두 원 단위 값을 불필요하게 확대하지 않고 같은 원 단위 평균으로 결합한다.

$$EMA_3=\frac{10\text{원}+12\text{원}+14\text{원}}{3}=12\text{원}$$

$EMA_3$

첫 세 가격의 SMA로 초기화한 세 번째 기간 Exponential moving average(지수이동평균)

예시 값과 단위: 12원

이 12원은 아직 재귀식으로 만든 값이 아니라 이후 계산이 출발할 Initialization value(초기값)다.

새 가격과 직전 EMA를 절반씩 섞는다

네 번째 기간부터는 새 가격과 직전 EMA를 같은 가중치로 결합한다.

$$\begin{aligned} EMA_4&=0.5\times20\text{원}+0.5\times12\text{원}=16\text{원}\\ EMA_5&=0.5\times18\text{원}+0.5\times16\text{원}=17\text{원}\\ EMA_6&=0.5\times22\text{원}+0.5\times17\text{원}=19.5\text{원} \end{aligned}$$

$EMA_4$

네 번째 가격 20원과 직전 EMA 12원을 결합한 첫 재귀 결과

예시 값과 단위: 16원

$EMA_5$

다섯 번째 가격 18원과 직전 EMA 16원을 결합한 재귀 결과

예시 값과 단위: 17원

$EMA_6$

여섯 번째 가격 22원과 직전 EMA 17원을 결합한 재귀 결과

예시 값과 단위: 19.5원

전체 EMA 시계열은 [null, null, 12, 16, 17, 19.5]다. 여섯 번째 시점의 3기간 SMA는 최근 세 가격만 사용한다.

$$SMA_6^{(3)}=\frac{20\text{원}+18\text{원}+22\text{원}}{3}=20\text{원}$$

$SMA_6^{(3)}$

여섯 번째 시점 최근 세 가격의 Simple moving average(단순이동평균)

예시 값과 단위: 20원

같은 시점 EMA 19.5원과 SMA 20원은 오래된 가격을 처리하는 규칙이 달라 서로 다르다. 어느 쪽이 더 미래를 잘 맞힌다는 증거는 아니다.

현재 계산 시점

4번째

초기화 · 3번째첫 재귀 · 4번째다음 재귀 · 5번째마지막 재귀 · 6번째

1. 1번째10원계산 전 · null
2. 2번째12원계산 전 · null
3. 3번째14원첫 SMA로 초기화
4. 4번째20원재귀 계산 완료
5. 5번째18원아직 이동 전
6. 6번째22원아직 이동 전

4번째 재귀 계산

0.5 곱하기 20원 + 0.5 곱하기 12원 = 16원

전체 3기간 EMA 시계열

1. 1번째null
2. 2번째null
3. 3번째12원
4. 4번째16원
5. 5번째17원
6. 6번째19.5원

빠른 반응은 더 높은 예측 정확도나 더 좋은 전략을 뜻하지 않습니다.

4번째 기간 · 재귀 계산 상태

EMA 16원

최근 가격 가중치

0.5

직전 EMA 가중치

0.5

같은 시점 3기간 SMA

15.333333원

도구의 초기 상태는 네 번째 가격의 첫 재귀 결과 16원이다. 초기화, 다섯 번째 17원, 여섯 번째 19.5원으로 이동하면 각 단계의 새 가격과 직전 EMA를 확인할 수 있다.

재귀식을 일반화한다

$$EMA_t=\alpha P_t+(1-\alpha)EMA_{t-1}$$

$EMA_t$

시점 $t$의 Exponential moving average(지수이동평균)

단위: 원

$P_t$

시점 $t$에 새로 확정된 가상 가격

단위: 원

$EMA_{t-1}$

직전 시점의 Exponential moving average(지수이동평균)

단위: 원

$\alpha$

새 가격에 주는 Smoothing factor(평활계수)

단위: 없음

EMA는 재귀적으로 직전 EMA를 이어받으므로 초기값의 영향이 초반에 남는다. 첫 가격 자체를 초기값으로 쓰거나, 더 긴 과거 자료를 먼저 넣어 초기값의 영향을 줄이는 Warm-up(예열)을 하면 초반 시계열은 이 페이지와 달라진다. 기간뿐 아니라 초기화 방법도 함께 기록해야 재현할 수 있다.

빠른 반응과 좋은 전략을 구분한다

• EMA는 최근 가격에 더 큰 영향을 주지만 미래 가격을 사용하지 않는다.
• 가격에 더 빨리 가까워진다고 미래 예측 정확도가 높아지는 것은 아니다.
• 같은 “3기간 EMA”라는 이름만으로 초기화 방법까지 같다고 볼 수 없다.
• 직전 EMA 안에는 더 오래된 가격의 영향이 남아 있다. 고정 창 밖 값을 즉시 0으로 만드는 SMA와 다르다.
• 최근 값에 민감하면 일시적 잡음에도 더 크게 반응할 수 있다.
• 이 페이지는 평균 계산까지만 다룬다. 방향 신호를 비중, 다음 체결과 비용으로 연결하는 작업은 8.6의 범위다.

이해 점검

기간 3의 평활계수와 두 가중치의 합은 얼마인가?

$\alpha=2/(3+1)=0.5$이고 직전 EMA 가중치도 $1-\alpha=0.5$이므로 합은 1이다.

첫 EMA 12원은 어떻게 만들며 어떤 상태인가?

첫 세 가격 10, 12, 14원의 SMA로 만들며, 이후 재귀 계산이 시작되는 초기화 상태다.

여섯 번째 EMA와 같은 시점 3기간 SMA는 각각 얼마인가?

EMA는 0.5 곱하기 22원에 0.5 곱하기 17원을 더해 19.5원이고, SMA는 (20원 + 18원 + 22원) / 3 = 20원이다.

같은 기간 EMA도 구현에 따라 초반 값이 달라질 수 있는 이유는 무엇인가?

첫 SMA, 첫 가격 또는 예열 자료처럼 초기값을 정하는 방법이 다르면 그 영향이 재귀식의 초반 값에 남기 때문이다.

완료 기준

[10, 12, 14, 20, 18, 22]원에서 α=0.5, 초기값 12원, 이후 16원 → 17원 → 19.5원, 전체 시계열 [null, null, 12, 16, 17, 19.5]와 같은 시점 SMA 20원을 재현할 수 있으면 8.6 추세 추종의 원리·구현·위험관리로 넘어간다.

이 가상 EMA는 초기화와 재귀 계산을 배우기 위한 자료이며 실제 시세, 진입 신호, 성과 예측이나 투자 권유가 아니다.