6.7 시장·규모·가치 요인으로 확장하기

6.7 시장·규모·가치 요인으로 확장하기

한 기간 MKT-RF가 1%, SMB가 0.5%, HML이 -0.2%이고 Alpha(알파)가 0.1%, 세 Beta(베타)가 1.1·0.4·-0.3이라면 모형이 예측하는 자산 초과수익률은 얼마일까? 먼저 한 기간의 네 기여도를 더한 뒤, 별도의 다기간 자료에서 시장 단일요인과 3요인 회귀를 비교한다.

한 기간 기여도를 먼저 더한다

위 표의 Alpha와 세 Beta는 이 한 기간의 MKT-RF·SMB·HML 값으로 구한 결과가 아니다. 별도의 여러 기간 자료에 3요인 모형을 적합해 이미 추정했다고 가정한 계수다. 여기서는 그 계수를 한 기간 팩터 수익률에 대입해 예측 초과수익률을 계산한다.

$$\begin{aligned} \widehat{R_i-R_f} &=0.001+1.1(0.010)+0.4(0.005)+(-0.3)(-0.002) \\ &=0.001+0.011+0.002+0.0006 \\ &=0.0146=1.46\% \end{aligned}$$

$\widehat{R_i-R_f}$

3요인 모형이 한 기간 팩터 수익률에서 예측한 자산 초과수익률

단위: 해당 기간의 소수 수익률

$R_i$

자산 $i$의 Return(수익률)

단위: 해당 기간의 소수 수익률

$R_f$

Risk-free return(무위험수익률)

단위: 해당 기간의 소수 수익률

HML 수익률과 HML Beta가 모두 음수이므로 두 값을 곱한 기여도는 양수 0.06%다. 부호를 생략하면 1.46%를 재현할 수 없다.

SMB와 HML은 개별 기업의 특성값이 아니다

SMB는 Small Minus Big(소형 포트폴리오 수익률에서 대형 포트폴리오 수익률을 뺀 값), HML은 High Minus Low(높은 장부가치/시장가치 포트폴리오 수익률에서 낮은 포트폴리오 수익률을 뺀 값)이다.

둘 다 여러 자산에 비중을 주어 만든 Long-short portfolio return(롱·숏 포트폴리오 기간수익률)이다. 따라서 SMB 0.5%를 어떤 기업의 시가총액 0.5%나 특성 점수 0.5라고 읽지 않는다. HML -0.2%도 개별 기업의 장부가치/시장가치 비율이 아니라 해당 기간의 두 포트폴리오 수익률 차이다.

여러 기간에서는 같은 자료를 두 번 적합한다

Fama–French three-factor model(파마–프렌치 3요인 모형)은 시장 초과수익률에 SMB와 HML 기간수익률을 추가한다.

$$R_{i,t}-R_{f,t} = \alpha_i + \beta_{M,i}(R_{m,t}-R_{f,t}) + \beta_{S,i}\operatorname{SMB}_t + \beta_{H,i}\operatorname{HML}_t + \varepsilon_{i,t}$$

$R_{i,t}-R_{f,t}$

$t$번째 기간 자산 $i$의 Excess return(초과수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$\alpha_i$

세 팩터가 설명하지 못한 Regression alpha(회귀 알파), 회귀 절편

단위: 기간당 소수 수익률

$\beta_{M,i}$

Market factor exposure(시장 팩터 노출)

단위: 무차원

$R_{m,t}-R_{f,t}$

$t$번째 기간 MKT-RF, 시장 초과수익률

단위: 기간당 소수 수익률

$\beta_{S,i}$

Size factor exposure(규모 팩터 노출)

단위: 무차원

$\operatorname{SMB}_t$

$t$번째 기간 Small Minus Big(규모 팩터 롱·숏 포트폴리오 수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$\beta_{H,i}$

Value factor exposure(가치 팩터 노출)

단위: 무차원

$\operatorname{HML}_t$

$t$번째 기간 High Minus Low(가치 팩터 롱·숏 포트폴리오 수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$\varepsilon_{i,t}$

3요인 모형의 Residual(잔차)

단위: 기간당 소수 수익률

6.3 Beta(베타)에서 사용한 $\operatorname{Cov}(y,x)/\operatorname{Var}(x)$ 공식은 설명변수가 시장 초과수익률 하나인 Ordinary least squares(OLS, 최소제곱법) 회귀 기울기를 직접 계산한 식이다. 같은 자료와 절편 조건을 사용하면 이 공식을 직접 계산한 결과와 통계 라이브러리의 OLS 적합 결과는 같다.

3요인 모형도 같은 OLS 원리를 사용하지만 MKT-RF·SMB·HML의 Beta를 각각 단일요인 공식으로 따로 구하지 않는다. Multiple OLS(다중 최소제곱법)는 여러 기간의 자산 초과수익률과 세 팩터 수익률을 함께 사용해 Alpha와 세 Beta를 동시에 추정한다. 따라서 시장 단일요인 Beta 약 1.026과 3요인 시장 Beta 1.100의 차이는 서로 다른 추정 원리를 사용해서가 아니라, 3요인 회귀가 SMB와 HML을 함께 통제하기 때문에 생긴다.

표에서 확인할 기준 모형

시장 단일요인3요인

현재 표의 예측·잔차

시장 단일요인

시장 단일요인

Alpha

0.137%

시장 Beta

1.026

표본내 결정계수

0.854

최대 절대 잔차

1.191%

시장·SMB·HML 3요인

Alpha

0.100%

Beta: 시장·SMB·HML

1.1 · 0.4 · -0.3

표본내 결정계수

0.978

최대 절대 잔차

0.380%

더 높은 표본내 설명력은 인과관계나 미래수익률을 증명하지 않습니다.

시장 단일요인 모형의 기간별 예측값과 잔차

기간	자산 초과수익률	MKT-RF	SMB	HML	예측값	잔차
1	-1.71%	-2.0%	1.0%	-1.0%	-1.914%	0.204%
2	-1.71%	-1.0%	-1.0%	2.0%	-0.889%	-0.821%
3	0.57%	0.0%	2.0%	1.0%	0.137%	0.433%
4	1.05%	1.0%	-2.0%	-2.0%	1.163%	-0.113%
5	3.38%	2.0%	1.0%	-1.0%	2.189%	1.191%
6	2.32%	3.0%	-1.0%	1.0%	3.214%	-0.894%

도구의 여섯 기간 자료는 한 기간 1.46% 사례와 별도의 회귀 표본이다. 한 기간 계산은 이미 정한 Alpha와 Beta에 그 기간 팩터 수익률을 넣어 예측값을 묻는다. 다기간 회귀는 여러 관측값에서 Alpha와 Beta 자체를 추정한다.

기준 모형에 따라 Alpha·잔차·설명력이 달라진다

같은 여섯 기간 자산 초과수익률을 두 모형에 넣으면 다음처럼 달라진다.

시장 단일요인이 설명하지 못한 규모·가치 공동 움직임의 일부가 절편과 잔차에 남는다. SMB와 HML을 추가하면 그 부분이 팩터 노출로 이동하므로 Alpha와 잔차, $R^2$가 모두 바뀐다. 어느 Alpha를 말하든 사용한 기준 모형의 이름을 함께 밝혀야 한다.

높은 설명력을 인과나 미래수익으로 바꾸지 않는다

• $R^2$ 0.978은 이 가상 표본 안의 변동을 많이 설명했다는 뜻이지 팩터가 수익률의 원인임을 증명하지 않는다.
• 높은 표본내 $R^2$는 다음 기간 예측수익률이나 투자수익률이 높다는 뜻이 아니다.
• 팩터끼리 강하게 겹치면 Multicollinearity(다중공선성) 때문에 개별 Beta가 불안정해진다.
• 팩터가 완전 공선이면 고유한 계수를 구할 수 없다.
• 표본 기간, 관측 빈도, 팩터 구성과 비용을 바꾸면 Alpha와 Beta도 달라질 수 있다.

자주 생기는 오해를 바로잡는다

• SMB와 HML을 개별 기업의 특성값으로 보지 않는다.
• 한 기간의 예측 기여도 1.46%를 다기간 회귀 Alpha라고 부르지 않는다.
• 시장 단일요인 Alpha와 3요인 Alpha가 같아야 한다고 생각하지 않는다.
• 6.3의 직접 계산식과 OLS 라이브러리를 서로 다른 Beta 추정법으로 구분하지 않는다.
• 시장 단일요인 Beta와 3요인 시장 Beta가 같은 값이어야 한다고 생각하지 않는다.
• 높은 표본내 $R^2$를 인과관계나 높은 미래수익률로 해석하지 않는다.
• 설명변수를 늘리면 모형이 자동으로 참이 된다고 보지 않는다.

이해 점검

한 기간 예측 초과수익률 1.46%는 어떻게 만들어지는가?

Alpha 0.10%, 시장 기여 1.10%, SMB 기여 0.20%, HML 기여 0.06%를 더한다.

6.3의 Beta 공식과 OLS 라이브러리는 서로 다른 방법인가?

아니다. 6.3의 공분산을 시장 분산으로 나누는 공식은 설명변수가 하나인 OLS 회귀 기울기의 직접 계산식이므로, 같은 자료와 절편 조건을 사용한 OLS 적합과 같은 Beta를 낸다. 3요인 모형에서는 같은 OLS 원리를 확장해 Alpha와 세 Beta를 동시에 추정하며, 시장 Beta가 단일요인 결과와 달라지는 이유는 SMB와 HML을 함께 통제하기 때문이다.

SMB와 HML이 개별 기업 특성값이 아닌 이유는 무엇인가?

둘 다 정해진 자산 집단을 롱·숏으로 결합해 만든 해당 기간의 포트폴리오 수익률 차이이기 때문이다.

3요인 모형의 표본내 $R^2$가 더 높아도 인과나 미래수익을 확정할 수 없는 이유는 무엇인가?

설명력은 사용한 표본에서 적합된 변동의 비율일 뿐이며, 빠진 변수·표본 선택·과적합과 미래 환경 변화에 대한 증거를 제공하지 않기 때문이다.

완료 기준과 다음 연결

한 기간의 0.1%·1.1%·0.2%·0.06% 기여도를 더해 1.46%를 계산하고, 별도 다기간 자료에서 시장 단일요인과 3요인 모형의 Alpha·잔차·$R^2$가 달라지는 이유를 설명할 수 있으면 완료다. 다음 6.8에서는 같은 관측수익률의 비정상수익률 결론이 기준 모형에 따라 달라지는 문제를 살펴본다.

이 자료의 팩터 수익률, 회귀 계수와 설명력은 모형 비교를 위한 가상값이며 투자 권유나 실제 투자성과를 뜻하지 않는다.