4.3 정해진 범위에서 확률밀도가 일정한 분포

4.3 정해진 범위에서 확률밀도가 일정한 분포

이 페이지는 4장의 선택 개념이다. 연속 균등분포에서 구간 길이의 비율을 직사각형 면적으로 바꾸어 확률을 계산하는 것이 목표다.

연속분포에서는 한 점이 아니라 폭이 있는 구간의 확률을 구한다. 그중 가장 단순한 예시는 정해진 범위 안의 모든 위치가 똑같이 선택되는 경우다.

같은 길이를 고르면 확률도 같다

길이가 10cm인 자 위의 한 곳을 눈을 감고 무작위로 짚는 상황을 생각해 보자. 자의 모든 위치가 똑같이 선택될 수 있다고 가정한다.

먼저 식 없이 길이만 비교해 보자. 2cm부터 5cm까지는 3cm이고, 6cm부터 9cm까지도 3cm다. 두 구간의 위치는 다르지만 전체 10cm에서 차지하는 길이는 모두 $3/10$이다. 따라서 어느 구간을 짚을 확률도 30%로 같다.

먼저 같은 길이끼리 비교

A

2–5cm

3cm → 30%

B

6–9cm

3cm → 30%

0cm10cm

자 위에서 선택 구간 바꿔 보기

자에서 시작 위치

2cm

자에서 끝 위치

5cm

0–10cm 자

3cm0cm10cm

선택한 길이 ÷ 전체 길이3cm ÷ 10cm = 30%

선택 구간

2cm–5cm

선택 길이

3cm

확률밀도

0.1/cm

같은 높이의 직사각형

0.1/cm0

면적 30%

0cm10cm

자 위에서 짚은 위치까지의 거리를 Random variable(확률변수) $X$라고 하면, 2cm부터 5cm 사이를 짚을 확률은 다음처럼 선택한 길이를 전체 길이로 나누어 구한다.

$$\begin{aligned} P(2 \le X \le 5) &= \frac{\text{선택한 길이}}{\text{전체 길이}} \\ &= \frac{5\text{cm}-2\text{cm}}{10\text{cm}} \\ &= \frac{3}{10} \\ &= 0.3 = 30\% \end{aligned}$$

$X$

10cm 자의 왼쪽 끝에서 무작위로 짚은 지점까지의 거리

단위: cm

$P(2 \le X \le 5)$

짚은 지점이 2cm 이상 5cm 이하에 있을 확률

단위: 비율 또는 퍼센트

여기서 균등하다는 모든 한 점이 30%의 확률을 갖는다는 뜻이 아니다. 길이가 같은 두 구간은 같은 확률을 갖는다는 뜻이다.

확률밀도는 확률을 길이에 고르게 펼친 높이다

Continuous uniform distribution(연속 균등분포)은 정해진 범위 안에서 Probability density(확률밀도)가 변하지 않는 분포다.

10cm 자 전체의 확률 1, 즉 100%를 같은 높이로 펼치려면 직사각형의 높이는 $0.1/\text{cm}$여야 한다. 가로 10cm와 높이 $0.1/\text{cm}$를 곱하면 전체 면적이 $10\text{cm} \times 0.1/\text{cm}=1$이 되기 때문이다.

2cm부터 5cm까지는 가로 길이가 3cm이므로 강조된 직사각형의 면적은 0.3이다. 이 면적이 바로 그 구간의 확률 30%다.

계산하면 $3\text{cm} \times 0.1/\text{cm}=0.3=30\%$다.

밀도 $0.1/\text{cm}$는 정확히 한 점을 짚을 확률이 아니다. 구간 길이와 밀도를 곱해 만든 면적이 확률이다.

일반식은 자의 0cm와 10cm를 기호로 바꾼 것이다

지금까지 사용한 숫자를 일반 기호로 바꾸면 다음과 같다.

10cm 자 예시	일반 기호	뜻
0cm	$a$	분포가 시작되는 Lower bound(하한)
10cm	$b$	분포가 끝나는 Upper bound(상한)
10cm	$b-a$	전체 범위의 길이
$0.1/\text{cm}$	$1/(b-a)$	범위 안에서 일정한 밀도 높이

따라서 범위 안의 밀도는 다음 한 줄로 쓸 수 있다.

$$f_X(x)=\frac{1}{b-a}, \qquad a \le x \le b$$

$X$

연속 균등분포를 따르는 Random variable(확률변수). 자 예시에서는 왼쪽 끝부터 짚은 지점까지의 거리

단위: 문제에서 정한 값의 단위. 자 예시에서는 cm

$x$

$X$가 가질 수 있는 특정 값

단위: $X$와 같은 단위

$f_X(x)$

값 $x$가 있는 위치에서의 Probability density(확률밀도) 높이

단위: $X$ 단위의 역수

$a$

분포가 시작되는 Lower bound(하한)

단위: $X$와 같은 단위

$b$

분포가 끝나는 Upper bound(상한)

단위: $X$와 같은 단위

이 식은 어렵게 새로 계산하는 방법이 아니다. $a$부터 $b$까지는 직사각형의 높이가 모두 $1/(b-a)$로 같다는 뜻이다. 자의 범위를 벗어난 곳에서는 짚을 수 없으므로 밀도는 0이다.

한 점의 확률은 0이지만 값은 가능하다

연속분포에서 정확히 5cm인 한 점을 짚을 확률은 구간 폭이 0이므로 면적도 0이다.

$$P(X=5)=0$$

$X$

자의 왼쪽 끝에서 무작위로 짚은 지점까지의 연속형 거리

단위: cm

$P(X=5)$

수학적으로 정확히 5cm인 한 점을 짚을 확률

단위: 0~1의 무차원 비율

이것은 5cm가 가능한 값에서 제외된다는 뜻이 아니다. 연속 범위에는 한 점이 무한히 많고 확률은 폭이 있는 구간에 배정된다. 실제 자의 눈금이 mm까지만 표시되어 있다면 관측값은 그 정밀도에 맞춰 기록되므로 연속 모형과 측정 정밀도를 구분해야 한다.

이산 균등분포와 연속 균등분포는 계산법이 다르다

구분	예시	확률 계산
Discrete uniform distribution(이산 균등분포)	공정한 주사위 1~6	값마다 확률 $1/6$
Continuous uniform distribution(연속 균등분포)	0~10cm 자 위의 위치 모형	구간 길이와 밀도의 곱

주사위의 특정 결과 5는 확률 $1/6$을 갖지만 자 위의 정확한 한 점 5cm는 확률 0이다.

균등 가정은 편리하지만 자동 정답이 아니다

정보가 부족하다고 무조건 균등분포를 선택하면 안 된다. 자 위의 모든 위치가 똑같이 선택될 수 있다는 가정은 계산을 배우기 위한 단순한 모형이다. 실제 수익률과 체결비용은 특정 범위에 고르게 나타나지 않을 수 있다. 균등분포를 사용한다면 범위가 왜 그 값인지, 같은 길이에 같은 확률을 두는 근거가 무엇인지 적는다.

자주 생기는 오해

• “자 밖에서도 밀도가 같나요?” 아니다. 이 예시에서 밀도가 일정한 곳은 자가 있는 0cm부터 10cm까지다. 0cm보다 작거나 10cm보다 큰 위치는 자 위에 없으므로 밀도는 0이다.
• “밀도가 $0.1/\text{cm}$이면 정확히 5cm를 짚을 확률도 10%인가요?” 아니다. 밀도는 그래프의 높이일 뿐이다. 한 점은 길이가 0이므로 면적도 0이고, 정확히 5cm를 짚을 확률은 0이다.
• “왜 밀도 단위가 $/\text{cm}$인가요?” 구간 길이와 곱했을 때 cm가 없어져야 확률이 되기 때문이다. 예를 들어 $3\text{cm} \times 0.1/\text{cm}=0.3$에서는 cm가 서로 없어지고 확률 30%만 남는다.
• “수익률 분포를 모르면 균등분포로 두면 되나요?” 아니다. 균등분포는 같은 길이의 구간마다 값이 똑같이 나타난다는 근거가 있을 때 사용하는 모형이다. 실제 수익률은 특정 구간에 몰리거나 범위 밖의 큰 값이 나타날 수 있다.
• “선택 구간이 자 밖까지 이어지면 전체 길이를 모두 세나요?” 아니다. 자와 실제로 겹치는 부분만 센다. 0~10cm 자에서 8~12cm를 선택하면 겹치는 부분은 8~10cm의 2cm뿐이므로 확률은 $2/10=20\%$다.

이해 점검

0~10cm 균등분포의 확률밀도는 얼마인가?

전체 폭이 10cm이고 면적이 1이어야 하므로 밀도는 $1/10=0.1/\text{cm}$다.

6cm부터 9cm 사이를 짚을 확률은 얼마인가?

선택 폭은 3cm이므로 $3/10=30\%$다. 2~5cm 구간과 길이가 같아 확률도 같다.

정확히 5cm일 확률이 0이면 5cm는 불가능한가?

아니다. 연속분포에서는 폭이 없는 한 점의 면적이 0일 뿐 그 값은 가능한 범위 안에 있다.

왜 과거 수익률의 최솟값과 최댓값 사이를 자동으로 균등분포로 두면 안 되는가?

실제 수익률은 특정 구간에 몰리거나 꼬리가 두꺼울 수 있고 과거 범위 밖의 값도 나타날 수 있기 때문이다.

완료 기준

연속 균등분포의 전체 범위에서 밀도를 계산하고, 관심 구간과 겹치는 길이로 확률을 구하며, 한 점 확률과 밀도를 구분할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 필독 페이지에서는 값들이 평균 주변에 퍼진 정도를 분산과 표준편차로 계산한다.

이 자료는 균등분포의 수학적 직관을 설명하는 교육 자료이며 실제 시장 데이터가 균등하다고 가정하지 않는다.