5.2 두 변수가 함께 움직이는 방향과 크기

5.2 두 변수가 함께 움직이는 방향과 크기

이 페이지는 5장의 필수 개념이다. 같은 날짜에 관측한 두 값이 각자 평균보다 같은 쪽으로 움직였는지 살펴보고, 그 결과의 방향과 크기를 숫자 하나로 요약하는 것이 목표다.

두 자산 A와 B의 4일간 가상 수익률을 나란히 놓았다고 하자.

거래일	자산 A 수익률	자산 B 수익률
월요일	$-5\%$	$1\%$
화요일	$-3\%$	$7\%$
수요일	$-1\%$	$5\%$
목요일	$1\%$	$3\%$

먼저 자산마다 4일 평균을 구한다. 자산 A의 평균은 $-2\%$, 자산 B의 평균은 $4\%$다.

$$\frac{-5\%+(-3\%)+(-1\%)+1\%}{4} = -2\%$$ $$\frac{1\%+7\%+5\%+3\%}{4} = 4\%$$

이제 각 날짜의 수익률을 그 자산의 평균과 비교한다.

거래일	자산 A와 평균 $-2\%$	자산 B와 평균 $4\%$	판단
월요일	$-5\% < -2\%$ 평균보다 낮음	$1\% < 4\%$ 평균보다 낮음	둘 다 낮음 → 같은 방향
화요일	$-3\% < -2\%$ 평균보다 낮음	$7\% > 4\%$ 평균보다 높음	한쪽은 낮고 한쪽은 높음 → 반대 방향
수요일	$-1\% > -2\%$ 평균보다 높음	$5\% > 4\%$ 평균보다 높음	둘 다 높음 → 같은 방향
목요일	$1\% > -2\%$ 평균보다 높음	$3\% < 4\%$ 평균보다 낮음	한쪽은 높고 한쪽은 낮음 → 반대 방향

월요일에는 자산 A가 $-5\%$로 손실을 보고 자산 B는 $1\%$의 이익을 냈다. 수익률의 부호만 보면 서로 반대로 보인다. 하지만 A의 $-5\%$는 자기 평균 $-2\%$보다 낮고, B의 $1\%$도 자기 평균 $4\%$보다 낮다. 두 자산 모두 자기 평균보다 낮았으므로 공분산에서는 같은 방향으로 본다.

수요일의 자산 A는 $-1\%$로 여전히 손실이다. 그래도 자기 평균 $-2\%$보다는 높다. 자산 B의 $5\%$도 자기 평균 $4\%$보다 높으므로 수요일 역시 같은 방향이다.

따라서 같은 방향은 두 수익률이 모두 양수이거나 모두 음수라는 뜻이 아니다. 각 수익률을 자기 평균과 비교했을 때 둘 다 높거나 둘 다 낮다는 뜻이다.

Covariance(공분산)는 이런 판단을 여러 관측에 걸쳐 숫자 하나로 요약한다. 각 관측값에서 자기 평균을 뺀 차이를 Deviation(편차)라고 할 때, 두 편차가 같은 부호이면 같은 방향이고 다른 부호이면 반대 방향이다.

• 공분산이 양수이면 같은 방향으로 움직인 관측의 영향이 더 컸다는 뜻이다.
• 공분산이 음수이면 반대 방향으로 움직인 관측의 영향이 더 컸다는 뜻이다.
• 공분산이 0에 가까우면 같은 방향과 반대 방향의 영향이 서로 상쇄되었거나 함께 움직이는 한 방향이 뚜렷하지 않다는 뜻이다.

같은 날짜의 값끼리 비교한다

자산 A의 월요일 수익률은 자산 B의 월요일 수익률과 짝지어야 한다. A의 월요일 값과 B의 수요일 값을 비교하면 같은 시장 상황에서 두 자산이 어떻게 움직였는지 알 수 없다. 사람이나 종목을 비교하는 자료라면 같은 사람이나 같은 종목의 값끼리 짝지어야 한다.

네 날짜를 편차 곱으로 바꾼다

앞의 4일 수익률로 표본 공분산을 계산해 보자. 계산에서는 수익률의 숫자를 Percentage point(퍼센트포인트) 값으로 사용한다. 각 수익률에서 자기 평균을 빼면 그날 값이 평균보다 얼마나 위나 아래에 있는지 알 수 있다.

거래일	자산 A 편차	자산 B 편차	편차 곱
월요일	$-5-(-2)=-3$	$1-4=-3$	$(-3)\times(-3)=9$
화요일	$-3-(-2)=-1$	$7-4=3$	$(-1)\times3=-3$
수요일	$-1-(-2)=1$	$5-4=1$	$1\times1=1$
목요일	$1-(-2)=3$	$3-4=-1$	$3\times(-1)=-3$

월요일은 두 편차가 모두 $-3$이므로 곱이 9다. 화요일과 목요일은 두 편차의 부호가 달라 곱이 음수다. 수요일은 두 편차가 모두 양수이므로 곱도 양수다.

네 편차 곱을 더한 뒤, 이 페이지에서 사용하는 Sample covariance(표본 공분산)는 관측 쌍의 수 4보다 하나 작은 3으로 나눈다.

$$\frac{9+(-3)+1+(-3)}{4-1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$$

같은 방향인 날과 반대 방향인 날은 각각 이틀이다. 그러나 단순히 날짜 수만 세는 것이 아니라 편차의 크기까지 곱한다. 월요일의 양수 편차 곱 9가 화요일과 목요일의 음수 편차 곱을 합친 $-6$보다 크므로 최종 공분산은 양수다.

따라서 이 예시의 표본 공분산은 약 1.33이고 단위는 퍼센트포인트의 제곱이다. 양수라는 결과는 두 수익률이 언제나 같은 방향이었다는 뜻이 아니라, 같은 방향으로 움직인 관측의 영향이 전체적으로 더 컸다는 뜻이다.

앞의 계산을 일반식으로 나타내면 다음과 같다. 분자의 각 곱은 같은 행에 있는 X 편차와 Y 편차를 곱한 값이고, 합 기호는 모든 짝의 편차 곱을 더하라는 뜻이다. 분모의 $n-1$은 다음 절에서 설명한다.

$$s_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}$$

$s_{XY}$

$X$와 $Y$의 Sample covariance(표본 공분산)

단위: $X$ 단위와 $Y$ 단위의 곱

$x_i$, $y_i$

$i$번째로 짝지어진 두 관측값

단위: 각 변수의 단위

$\bar{x}$, $\bar{y}$

두 표본의 Sample mean(표본평균)

단위: 각 변수의 단위

$n$

짝지어진 관측 수

단위: 쌍

왜 $n-1$로 나누는가

공분산이라는 이름은 같아도 관심 있는 자료 전체를 알고 있는지, 일부 관측만 가지고 전체를 추정하는지에 따라 분모가 다르다.

구분	사용하는 자료	분모	뜻
Population covariance(모집단 공분산)	관심 있는 전체 자료	$N$	전체 자료의 공동 움직임을 기술
Sample covariance(표본 공분산)	전체에서 얻은 일부 관측	$n-1$	전체의 공분산을 추정

이 페이지와 학습 도구는 두 번째 경우인 표본 공분산을 사용한다. 왜 $n-1$로 나누는지 이해하려면, 앞에서 계산한 자산 A의 편차를 다시 보면 된다.

자산 A의 평균은 $-2\%$였고 편차는 [-3,-1,1,3]이었다. 평균보다 낮은 정도와 높은 정도를 모두 더하면 다음처럼 정확히 0이 된다.

$$-3+(-1)+1+3 = 0$$

평균은 값들의 균형점이므로, 같은 자료로 평균을 계산한 뒤 각 값에서 그 평균을 빼면 음수 편차와 양수 편차가 서로 상쇄된다. 자산 B의 편차 [-3,3,1,-1]도 합이 0이다.

이제 자산 A의 앞 세 편차 $-3$, $-1$, $1$만 알고 있다고 하자. 이 세 수의 합은 $-3$이다. 전체 편차의 합이 0이 되려면 마지막 편차는 반드시 $3$이어야 한다. 마지막 값을 마음대로 정할 수 없는 것이다.

따라서 편차가 4개여도 자유롭게 정할 수 있는 편차는 3개뿐이다. 일반적으로 관측값이 $n$개이면 자유롭게 달라질 수 있는 편차는 $n-1$개다. 이렇게 자유롭게 정할 수 있는 값의 수를 Degree of freedom(자유도)이라고 한다. 표본 공분산은 모집단의 공분산을 추정할 때 이 제약을 반영해 편차 곱의 합을 $n$이 아니라 $n-1$로 나눈다.

계산 전에 확인할 것

공분산은 X의 첫 번째 값과 Y의 첫 번째 값, X의 두 번째 값과 Y의 두 번째 값을 차례로 짝지어 계산한다. 따라서 계산식이 맞더라도 값의 짝이나 입력 자료가 잘못되면 결과도 잘못된다.

• 두 자료의 관측 수가 같아야 한다. X에는 수익률이 4개인데 Y에는 3개만 있다면 마지막 X 값과 비교할 Y 값이 없다. 공분산은 두 값을 한 쌍으로 사용하므로 짝이 없는 값은 그대로 계산할 수 없다.
• 같은 행이 같은 날짜나 같은 대상을 가리켜야 한다. 자산 A의 월요일 수익률은 자산 B의 월요일 수익률과 비교해야 한다. A의 월요일과 B의 수요일을 짝지으면 서로 다른 시장 상황을 비교하게 되어 실제 공동 움직임을 알 수 없다.
• 모든 값이 계산 가능한 유한한 숫자여야 한다. 빈칸, 문자, Missing value(결측값) 또는 Infinity(무한대)가 포함되면 평균과 편차를 정상적으로 계산할 수 없다. 이런 값은 원인을 확인한 뒤 수정하거나 미리 정한 기준에 따라 처리해야 한다.
• 입력 오류와 Outlier(이상치)를 확인해야 한다. 공분산은 두 편차를 곱하므로 평균에서 아주 멀리 떨어진 값의 영향이 크다. 예를 들어 $2\%$를 실수로 $20\%$라고 입력하면 그 한 값이 공분산의 방향과 크기를 크게 바꿀 수 있다.
• 성격이 다른 기간을 무심코 섞지 않았는지 확인해야 한다. 평상시에는 두 자산이 비슷하게 움직여도 급격한 시장 하락기에는 반대로 움직일 수 있다. 서로 다른 Market regime(시장 국면)을 한꺼번에 계산하면 어느 기간의 관계도 제대로 보여 주지 못하는 애매한 숫자가 나올 수 있다.

계산하기 전에는 비교할 값이 빠지지 않았는지, 같은 날짜끼리 짝지었는지, 잘못 입력되거나 지나치게 큰 값은 없는지, 서로 다른 시장 상황을 한꺼번에 섞지 않았는지 확인한다. 공분산 계산이 정확해도 입력 자료의 짝과 범위가 잘못되면 해석도 잘못되기 때문이다.

Y의 모든 값에 더하는 수

0

Y의 모든 값에 곱할 배율

1배

바꾼 뒤의 표본 공분산4.250

바꾸기 전 공분산

4.250

X 평균 · 바꾼 Y 평균

3.00 · 5.00

모든 Y 값에 같은 수를 더하면 Y 평균도 함께 움직여 편차는 그대로입니다. 배율은 편차와 공분산의 방향과 크기를 바꿉니다.

짝	X 편차 계산	바꾼 Y 편차 계산	편차 곱 계산
1	1.00 − 3.00 = -2.00	2.00 − 5.00 = -3.00	(-2.00) × (-3.00) = 6.00
2	2.00 − 3.00 = -1.00	3.00 − 5.00 = -2.00	(-1.00) × (-2.00) = 2.00
3	3.00 − 3.00 = 0.00	5.00 − 5.00 = 0.00	(0.00) × (0.00) = 0.00
4	4.00 − 3.00 = 1.00	6.00 − 5.00 = 1.00	(1.00) × (1.00) = 1.00
5	5.00 − 3.00 = 2.00	9.00 − 5.00 = 4.00	(2.00) × (4.00) = 8.00
편차 곱 합6.00 + 2.00 + 0.00 + 1.00 + 8.00 = 17.00
표본 공분산17.00 ÷ (5 − 1) = 4.250

크기는 단위에 따라 바뀐다

온도를 섭씨에서 같은 간격의 다른 기준으로 옮기듯 한 변수에 상수를 더해도 평균편차는 바뀌지 않는다. 반면 원을 천 원 단위로 바꾸거나 수치를 100배 하면 공분산도 배율만큼 바뀐다.

• $Y$에 10을 더해도 $y_i-\bar{y}$는 같다.
• $Y$에 100을 곱하면 모든 $Y$ 편차와 공분산도 100배가 된다.
• 음수 배율을 곱하면 공분산 부호도 뒤집힌다.

앞의 자산 B 수익률 [1,7,5,3]에 10을 더한 [11,17,15,13]의 평균은 14이고 편차는 여전히 [-3,3,1,-1]이므로 공분산도 $\frac{4}{3}$으로 같다. 반대로 B 수익률을 100배 하면 모든 B 편차도 100배가 되어 공분산은 $\frac{400}{3}$이 된다. 같은 움직임인데 숫자의 단위만 바꿔도 공분산은 100배로 변한다.

두 공분산 $\frac{4}{3}$과 $\frac{400}{3}$만 놓고 보면 두 번째 값이 100배 크므로 관계도 100배 강해진 것처럼 보일 수 있다. 하지만 자산 B의 모든 수치에 100을 곱했을 뿐 값이 움직이는 순서와 모양은 그대로다. 두 자산의 관계가 강해진 것이 아니라 숫자를 표시하는 단위만 커진 것이다.

이처럼 공분산의 절댓값에는 두 변수의 관계뿐 아니라 숫자의 단위와 크기도 함께 반영된다. 따라서 원과 달러로 기록한 두 가격의 공분산이나 퍼센트와 소수로 기록한 두 수익률의 공분산을 숫자 크기만으로 직접 비교하면 잘못 판단할 수 있다.

이 단위 문제를 해결하기 위해 다음 페이지에서는 Correlation coefficient(상관계수)를 배운다. 상관계수는 단위의 영향을 없애고, 두 변수가 함께 움직이는 방향과 강도를 $-1$에서 $1$ 사이의 공통 기준으로 보여 준다.

자주 생기는 오해

• 공분산이 양수라고 모든 날짜에 두 변수가 같은 방향으로 움직인 것은 아니다. 앞의 예시에서도 화요일과 목요일은 반대 방향이었다. 다만 같은 방향에서 나온 양수 편차 곱의 합이 더 컸기 때문에 최종 공분산이 양수가 된 것이다.
• 공분산이 0이라고 두 변수가 완전히 관계없다고 단정할 수 없다. 같은 방향에서 나온 양수 편차 곱과 반대 방향에서 나온 음수 편차 곱이 우연히 같은 크기로 상쇄되면 공분산은 0이 된다. 따라서 공분산 0만으로 Independence(독립)를 증명할 수 없다.
• 짝 자료의 순서를 바꾸면 비교하는 대상도 바뀐다. 자산 B의 날짜 순서를 바꾸면 자산 A의 월요일을 B의 다른 날짜와 비교하게 된다. 같은 숫자를 사용해도 어떤 날짜끼리 짝지었는지가 달라졌으므로 공분산도 다른 질문에 대한 답이 된다.
• 공분산이 더 크다고 관계가 더 강하다고 바로 판단할 수 없다. 앞에서 B의 모든 값을 100배 했을 때 움직임은 그대로였지만 공분산은 100배가 되었다. 공분산의 크기에는 관계뿐 아니라 측정 단위도 반영된다.
• 표본 공분산과 모집단 공분산은 나누는 수가 다르다. 관심 있는 전체 자료로 공동 움직임을 기술할 때는 $N$으로 나누고, 일부 표본으로 전체 공분산을 추정할 때는 $n-1$로 나눈다. 어떤 자료를 사용했는지에 맞는 공식을 선택해야 한다.

이해 점검

자산 A의 월요일 수익률과 자산 B의 수요일 수익률을 짝지으면 안 되는 이유는 무엇인가?

서로 다른 시장 상황에서 나온 값을 비교하게 되어 두 자산이 같은 시점에 어떻게 움직였는지 알 수 없기 때문이다.

두 수익률이 모두 음수이면 항상 같은 방향이라고 볼 수 있는가?

아니다. 각 수익률을 자기 평균과 비교해야 한다. 둘 다 음수여도 하나는 자기 평균보다 높고 다른 하나는 낮을 수 있다.

Y의 모든 값에 100을 더하면 공분산은 어떻게 되는가?

변하지 않는다. Y 평균도 100만큼 커져 각 평균편차는 그대로이기 때문이다.

두 편차의 부호가 다르면 편차 곱과 공분산에 어떤 영향을 주는가?

편차 곱이 음수가 되어 공분산을 낮추는 방향으로 작용한다. 이런 짝의 영향이 더 크면 공분산은 음수가 된다.

완료 기준

왜 같은 날짜의 값끼리 짝지어야 하는지 설명하고, 각 편차의 부호에서 같은 방향과 반대 방향을 구분하며, 편차 곱으로 표본 공분산을 계산할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 공분산을 표준화해 서로 다른 자료쌍을 비교한다.

이 자료의 관측값은 통계 원리를 설명하기 위한 가상값이며 실제 자산 관계나 미래 움직임을 나타내지 않는다.