6.5 기준 모델이 설명하지 못한 초과성과

6.5 기준 모델이 설명하지 못한 초과성과

한 기간의 Risk-free return(무위험수익률)이 2%, Market realized return(시장 실현수익률)이 8%, 자산 Beta(베타)가 1.2일 때 자산 실현수익률 11%를 어떻게 평가해야 할까? 먼저 선택한 기준 모형이 설명하는 수익률을 구하고, 관측값과의 차이에서 같은 기간 비용을 뺀다.

실현수익률 11%를 다섯 단계로 분해한다

1. 1. 실현수익률

   11.0%

   한 기간 자산에서 실제로 관측한 수익률

   →

2. 2. CAPM 기준

   -9.2%

   무위험수익률·시장수익률·Beta로 선택한 비교 기준

   →

3. 3. 비용 전 Alpha

   1.8%

   실현수익률에서 기준수익률을 뺀 차이

   →

4. 4. 비용

   -0.8%

   같은 기간에 발생한 거래·운용비용

   →

5. 5. 비용 후 Alpha

   1.0%

   기준과 비용을 모두 차감하고 남은 차이

선택한 기준 모형의 9.2%부터 계산한다

한 기간 Capital Asset Pricing Model(CAPM, 자본자산가격결정모형) 기준은 같은 기간의 무위험수익률과 시장 실현수익률을 사용한다.

$$B_i^{\mathrm{CAPM}} = R_f + \beta_i(R_m-R_f)$$

$B_i^{\mathrm{CAPM}}$

자산 $i$의 한 기간 CAPM benchmark return(CAPM 기준수익률)

단위: 한 기간 소수 수익률

$R_f$

Risk-free return(무위험수익률)

단위: 같은 기간의 소수 수익률

$\beta_i$

자산 $i$의 Market beta(시장 베타)

단위: 무차원

$R_m$

Market realized return(시장 실현수익률)

단위: 같은 기간의 소수 수익률

$$\begin{aligned} B_i^{\mathrm{CAPM}} &=0.02+1.2(0.08-0.02) \\ &=0.092=9.2\% \end{aligned}$$

$B_i^{\mathrm{CAPM}}$

가상 자산의 한 기간 CAPM benchmark return(CAPM 기준수익률)

단위: 한 기간 소수 수익률

이 9.2%는 선택한 모형이 해당 기간의 시장 움직임과 Beta로 설명한 기준이다. 자산의 관측수익률 11% 자체가 Alpha(알파)는 아니다.

기준과 비용을 순서대로 뺀다

한 기간의 비용 전 Abnormal return(비정상수익률)은 실현수익률에서 기준수익률을 뺀 값이다. 여기서는 CAPM을 기준으로 선택했으므로 비용 전 CAPM Alpha라고 부를 수 있다.

$$\begin{aligned} AR_i^{\mathrm{gross}} &=R_i-B_i^{\mathrm{CAPM}} \\ &=0.11-0.092 \\ &=0.018=1.8\% \\ AR_i^{\mathrm{net}} &=AR_i^{\mathrm{gross}}-C_i \\ &=0.018-0.008 \\ &=0.010=1.0\% \end{aligned}$$

$AR_i^{\mathrm{gross}}$

자산 $i$의 비용 전 Abnormal return(비정상수익률), 이 사례의 비용 전 CAPM Alpha

단위: 한 기간 소수 수익률

$R_i$

Asset realized return(자산 실현수익률)

단위: 한 기간 소수 수익률

$B_i^{\mathrm{CAPM}}$

한 기간 CAPM benchmark return(CAPM 기준수익률)

단위: 한 기간 소수 수익률

$AR_i^{\mathrm{net}}$

자산 $i$의 비용 후 Abnormal return(비정상수익률), 이 사례의 비용 후 CAPM Alpha

단위: 한 기간 소수 수익률

$C_i$

같은 기간의 거래·운용비용

단위: 한 기간 소수 수익률

한 기간 무위험수익률

2.0%

한 기간 시장 실현수익률

8.0%

한 기간 자산 실현수익률

11.0%

Beta

1.2

한 기간 거래·운용비용

0.8%

1. 1. 자산 실현수익률11.0%
2. 2. CAPM 기준 차감-9.2%
3. 3. 비용 전 Alpha1.8%
4. 4. 비용 차감-0.8%
5. 5. 비용 후 Alpha1.0%

CAPM 기준수익률

9.2%

비용 전 Alpha

1.8%

가상 비용

-0.8%

비용 후 Alpha

1.0%

한 기간의 양의 차이는 다기간 회귀 절편이나 미래 초과성과를 확정하지 않습니다.

비용이 1.8%보다 커지면 비용 전 차이가 양수여도 비용 후 차이는 음수가 된다. 비용은 별도 수익원이 아니라 관측된 차이에서 투자자가 실제로 부담하는 차감 항목이다.

한 번의 차이와 여러 기간의 회귀 절편을 구분한다

한 기간의 Abnormal return(비정상수익률)은 관측값 하나와 기준값 하나의 차이다. 이 사례에서는 자산 실현수익률 11%에서 CAPM 기준수익률 9.2%를 뺀 $11\%-9.2\%=1.8\%$가 한 번 관측한 차이다. 여러 기간의 Regression alpha(회귀 알파)는 반복 관측을 함께 적합해 얻은 절편 추정치다.

설명을 위해 이 한 기간을 포함한 동일한 빈도의 가상 자료 24개를 회귀했다고 하자. 회귀 결과가 기간당 Alpha 0.2%, Beta 1.2라면 두 값을 다음처럼 구분한다.

다기간의 Regression alpha(회귀 알파)와 Market beta(시장 베타)는 여러 기간의 자산·시장 초과수익률을 Ordinary least squares(OLS, 최소제곱법)로 함께 적합해 구한다. 실제 분석에서는 통계·회귀 라이브러리의 OLS 기능에 자료를 입력하면 절편인 Alpha와 기울기인 Beta를 컴퓨터로 쉽게 계산할 수 있다.

같은 기준 모형으로 보면 선택한 기간의 1.8%에는 기간당 회귀 Alpha 0.2%와 그 기간에만 남은 Residual(잔차) 1.6%가 함께 들어 있다. 즉 $1.8\%=0.2\%+1.6\%$이며, 한 번의 차이 전체를 표본 전체의 회귀 절편이라고 바꿔 말할 수 없다.

24개 기간이 월 자료라면 0.2%는 월 Alpha다. 이를 연 값으로 표시하려면 12배하는 방식 등 사용한 연환산 규칙과 가정을 밝혀야 한다. Intercept(절편)와 Residual(잔차)의 기본 관계는 5.11 Regression analysis(회귀분석)에서 복습할 수 있고, 다기간 팩터 회귀식은 6.7 Fama–French three-factor model(파마–프렌치 3요인 모형)에서 다룬다.

Alpha에는 기준 모형의 이름표가 붙는다

같은 실현수익률 11%라도 기준 모형이 9.2%를 설명하면 비용 전 차이는 1.8%이고, 다른 기준 모형이 9.5%를 설명하면 1.5%다. 따라서 CAPM Alpha처럼 어떤 모형을 기준으로 삼았는지 함께 적어야 한다.

다른 공통 요인을 포함하면 기준수익률과 Alpha가 달라질 수 있다. 구체적인 시장·규모·가치 요인식과 다기간 비교는 6.7에서 다룬다.

양의 차이를 실력으로 확정하지 않는다

가상 24개 기간에서 Alpha 0.2%를 발견했다고 하자. 양수라는 사실은 연구를 더 진행할 이유가 되지만, 곧바로 운용 실력의 증명서가 되지는 않는다. 이 값은 다음 다섯 위험을 확인해야 하는 추가 검증의 출발점이다.

표의 기간별 Alpha, 비용과 전략 개수는 판단 순서를 설명하기 위한 가상값이다. 다섯 위험은 서로 따로만 생기는 것이 아니므로 표본, 선택 과정, 비용과 기준 모형을 함께 확인한다.

자주 생기는 오해를 바로잡는다

이해 점검

한 기간 CAPM 기준수익률 9.2%는 어떻게 계산하는가?

무위험수익률 2%에 Beta 1.2와 시장 초과수익률 6%의 곱인 7.2%를 더한다.

비용 전 Alpha 1.8%와 비용 후 Alpha 1.0%는 어떻게 이어지는가?

실현수익률 11%에서 CAPM 기준 9.2%를 빼면 1.8%이고, 여기에서 같은 기간 비용 0.8%를 더 빼면 1.0%다.

한 기간 비정상수익률과 여러 기간 회귀 Alpha가 다른 이유는 무엇인가?

같은 기준 모형으로 해석하면 한 기간 차이에는 전체 표본에서 추정한 회귀 절편과 해당 기간의 Residual(잔차)이 함께 들어갈 수 있지만, 회귀 Alpha는 여러 관측을 함께 적합해 얻은 절편이기 때문이다.

같은 실현수익률에서도 기준 모형에 따라 Alpha가 달라지는 이유는 무엇인가?

각 모형이 공통 위험 노출로 설명하는 기준수익률이 다르며 실현수익률에서 빼는 값도 달라지기 때문이다.

완료 기준과 다음 연결

실현수익률 11%에서 선택한 CAPM 기준 9.2%와 비용 0.8%를 순서대로 빼 1.8%와 1.0%를 계산하고, 한 기간의 비정상수익률과 다기간 회귀 절편을 구분할 수 있으면 완료다. 다음 6.6에서는 자산 특성값을 순위와 롱·숏 포트폴리오로 바꾸어 공통 수익원을 표현한다.

이 자료의 수익률, Alpha와 비용은 기준 모형과 비용 차감을 설명하기 위한 가상값이며 투자 권유나 실제 투자성과를 뜻하지 않는다.