5.3 공분산을 -1~1로 표준화한 관계

5.3 공분산을 -1~1로 표준화한 관계

이 페이지는 5장의 필수 개념이다. Pearson correlation coefficient(피어슨 상관계수)를 계산하고, 산점도에서 직선 관계와 곡선 관계를 구분하며, 상관관계만으로 원인을 말할 수 없는 이유를 이해하는 것이 목표다.

5.2의 공분산은 두 변수가 같은 방향으로 움직이는지, 반대 방향으로 움직이는지는 알려 준다. 하지만 원을 천 원으로 바꾸는 것처럼 표시 단위만 바꿔도 숫자의 크기가 달라져 서로 비교하기 어렵다. 공분산을 두 변수의 표준편차로 나누면 단위의 영향을 없앤 -1부터 1 사이의 숫자로 바꿀 수 있다.

먼저 알아둘 말

• Linear relationship(선형 관계): X가 일정하게 변할 때 Y도 대체로 일정한 폭으로 변하며 점들이 직선 가까이에 놓이는 관계다.
• Nonlinear relationship(비선형 관계): X와 Y가 연결되어 있지만 점들이 U자나 곡선으로 놓여 직선 하나로 설명하기 어려운 관계다. 예를 들어 $Y=X^2$이면 X가 0에서 멀어질수록 Y가 커져 점들이 U자로 놓인다.
• Market regime change(시장 국면 변화): 평온기에는 따로 움직이던 두 자산이 위기에는 함께 하락하는 것처럼 기간이나 시장 상태에 따라 관계가 달라지는 현상이다.
• Causality(인과관계): X의 변화가 Y의 변화를 직접 일으키는 관계다. 두 자산이 같은 시장 뉴스에 반응해 함께 움직여도 한 자산이 다른 자산을 움직인 원인이라고 단정할 수는 없다.
• Outlier(이상치): 입력 오류나 특별한 충격 때문에 다른 점들에서 멀리 떨어진 관측값이다. 점 하나만 멀리 떨어져 있어도 상관계수가 크게 바뀔 수 있다.

Linear relationship(선형 관계)

X가 커질수록 Y도 일정한 폭으로 커져 점들이 우상향 직선 가까이에 놓입니다.

원형 점 하나가 같은 날의 X와 Y를 묶어 보여 줍니다.

Nonlinear relationship(비선형 관계)

X와 Y는 분명히 연결되어 있지만 점들이 U자로 놓여 직선 하나로는 관계를 설명하기 어렵습니다.

마름모 점에서 Y는 X를 제곱한 값입니다. 관계가 강해도 직선 모양은 아닙니다.

도구	주로 답하는 질문	단위·범위	놓칠 수 있는 것
공분산	같이 움직이는 방향은?	두 단위의 곱, 범위 제한 없음	서로 다른 단위 자료의 강도 비교
Pearson correlation coefficient(피어슨 상관계수)	점들이 우상향 또는 우하향 직선에 얼마나 가까운가?	단위 없음, -1~1	U자 같은 곡선 관계, 기간별 관계 변화, 원인과 결과
Scatterplot(산점도)	짝을 이루는 두 값을 점으로 찍었을 때 어떤 모양이 나타나는가?	원래 축 단위	관계를 숫자 하나로 요약한 결과

상관계수는 공분산을 두 표준편차로 나눈다

$$r_{XY} = \frac{s_{XY}}{s_Xs_Y}$$

$r_{XY}$

$X$와 $Y$의 Pearson correlation coefficient(피어슨 표본상관계수)

단위: 없음, 범위: -1~1

$s_{XY}$

$X$와 $Y$의 Sample covariance(표본 공분산)

단위: 두 변수 단위의 곱

$s_X$, $s_Y$

두 변수의 Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 각 변수의 단위

세 쌍의 수익률로 처음부터 계산해 본다

아래 값은 3일간의 가상 수익률이다. X는 시장 수익률 $X=[1\%,2\%,3\%]$이고, Y는 자산 수익률 $Y=[2\%,4\%,6\%]$이다. 같은 날의 시장 수익률과 자산 수익률이 한 쌍을 이룬다.

먼저 각 자료의 평균을 구한다.

$$\begin{aligned} \bar X &= \frac{1\%+2\%+3\%}{3}=2\% \\ \bar Y &= \frac{2\%+4\%+6\%}{3}=4\% \end{aligned}$$

$X$, $Y$

3일간의 가상 시장 수익률과 자산 수익률

단위: %

$\bar X$, $\bar Y$

각 수익률의 Sample mean(표본평균)

단위: %

각 값에서 자기 평균을 빼면 편차가 나온다. 편차의 곱은 공분산에, 각 편차의 제곱은 표준편차에 사용한다. 수익률 값은 %로 쓰고, 두 수익률의 차이는 Percentage point(퍼센트포인트, %p)로 표시한다. 예를 들어 1%와 2%의 차이는 1%p다.

날짜와 관측쌍	X 편차	Y 편차	편차 곱	X 편차 제곱	Y 편차 제곱
1일: $(1\%,2\%)$	$-1\%\mathrm{p}$	$-2\%\mathrm{p}$	$2(\%\mathrm{p})^2$	$1(\%\mathrm{p})^2$	$4(\%\mathrm{p})^2$
2일: $(2\%,4\%)$	$0\%\mathrm{p}$	$0\%\mathrm{p}$	$0(\%\mathrm{p})^2$	$0(\%\mathrm{p})^2$	$0(\%\mathrm{p})^2$
3일: $(3\%,6\%)$	$1\%\mathrm{p}$	$2\%\mathrm{p}$	$2(\%\mathrm{p})^2$	$1(\%\mathrm{p})^2$	$4(\%\mathrm{p})^2$
합계	-	-	$4(\%\mathrm{p})^2$	$2(\%\mathrm{p})^2$	$8(\%\mathrm{p})^2$

합계 행의 숫자를 관측값 수에서 1을 뺀 $3-1=2$로 나눈다. 그 결과로 Sample covariance(표본 공분산)와 두 Sample standard deviation(표본표준편차)을 차례로 구할 수 있다.

$$\begin{aligned} \text{표본 공분산} &= \frac{4}{3-1}=2(\%\mathrm{p})^2 \\ \text{X 표본표준편차} &= \sqrt{\frac{2}{3-1}}=1\%\mathrm{p} \\ \text{Y 표본표준편차} &= \sqrt{\frac{8}{3-1}}=2\%\mathrm{p} \end{aligned}$$

마지막으로 공분산을 두 표준편차의 곱으로 나눈다.

$$r_{XY} = \frac{2(\%\mathrm{p})^2}{1\%\mathrm{p}\times2\%\mathrm{p}} = 1$$

$r_{XY}$

예시 시장 수익률과 자산 수익률의 Pearson correlation coefficient(피어슨 상관계수)

단위: 없음, 계산값: 1

$X$, $Y$

3일간의 가상 시장 수익률과 자산 수익률

단위: %

분자의 %p 제곱이 분모의 %p 곱과 약분되어 단위가 사라진다. 계산값 1은 X와 Y의 숫자가 같다는 뜻이 아니라, 세 점이 정확한 우상향 직선 위에 있다는 뜻이다.

부호와 절댓값은 선형 모양을 요약한다

상관계수	선형관계 해석
1	모든 점이 우상향 직선 위에 있음
0 근처	직선으로 요약되는 관계가 약함
-1	모든 점이 우하향 직선 위에 있음

Y를 표시하는 숫자만 100배하면 공분산과 Y 표준편차가 모두 100배가 되어 상관계수는 계속 1이다.

반면 $X=[-2,-1,0,1,2]$, $Y=[4,1,0,1,4]$에서는 X 평균이 0이고 각 편차 곱의 합이 -8-1+0+1+8=0이다. 공분산과 피어슨 상관계수는 0이지만 Y가 X의 제곱이라는 관계는 완전히 정해져 있다. 따라서 숫자 0을 보기 전에 산점도의 U자 모양을 확인해야 한다.

자료 모양

양의 선형음의 선형U자형이상치 포함

Y 단위 배율

1배

점 위에 마우스를 올리거나 Tab 키로 점을 선택하면 X와 Y 좌표가 표시됩니다. Y 좌표에는 선택한 단위 배율이 반영됩니다.

변환 전 → 후 공분산

4.000 → 4.000

변환 후 상관계수

0.992

양의 배율은 공분산을 키워도 상관계수는 바꾸지 않습니다. 상관 0도 비선형 관계가 없다는 뜻은 아닙니다.

0은 관계 없음이나 독립을 뜻하지 않는다

점들이 U자형으로 놓이면 왼쪽에서는 음의 기울기, 오른쪽에서는 양의 기울기가 나타나 전체 선형관계가 상쇄될 수 있다. 상관계수가 0이어도 $Y=X^2$ 같은 강한 비선형 관계가 가능하다.

Outlier(이상치) 하나가 산점도의 중심과 기울기를 크게 바꾸기도 한다. 숫자 하나만 보고 판단하지 말고 산점도, 기간별 값, 자료 생성 과정과 이상치를 함께 본다.

상관관계는 원인이 아니다

두 자산 수익률이 함께 움직여도 공통 시장요인, 같은 산업 노출 또는 우연한 표본 때문에 그럴 수 있다. 상관계수는 X가 Y를 일으킨다는 방향이나 개입 효과를 알려 주지 않는다. 시장 국면과 측정 기간이 바뀌면 값도 달라질 수 있다.

자주 생기는 오해

• 상관계수 0은 독립이나 모든 형태의 무관계를 뜻하지 않는다.
• 상관계수 1도 두 변수의 값이 같다는 뜻은 아니다.
• 높은 상관관계는 인과관계를 증명하지 않는다.
• 이상치와 관측 범위는 상관계수를 크게 바꿀 수 있다.
• 전체 기간 상관계수가 기간별로 안정적이라는 보장은 없다.

이해 점검

Y를 원에서 천 원 단위로 바꾸면 상관계수는 왜 그대로인가?

양의 배율은 공분산과 Y 표준편차를 같은 비율로 바꾸므로 나눗셈에서 약분된다.

상관계수 0인 두 변수가 강하게 연결될 수 있는 예는 무엇인가?

Y가 X의 제곱인 U자형 관계가 가능하다. 피어슨 상관계수는 선형관계를 요약하므로 양쪽 기울기가 상쇄될 수 있다.

상관계수 0.9이면 X가 Y의 원인이라고 말할 수 있는가?

아니다. 공통 원인, 선택편향, 시간 추세나 우연한 표본도 높은 상관을 만들 수 있다.

전체 기간 상관계수 하나만 사용하면 어떤 변화를 놓칠 수 있는가?

시장 국면이나 기간에 따라 관계의 방향과 강도가 바뀌는 불안정성을 놓칠 수 있다.

완료 기준

공분산과 두 표준편차에서 상관계수를 계산하고, 단위 없는 범위·비선형관계·이상치·인과 해석의 한계를 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 선택 페이지에서는 평균 수준이 다른 양의 비율척도 자료의 상대적 산포를 비교한다.

이 자료의 산점도와 관계는 통계 개념을 설명하기 위한 가상값이며 실제 자산의 관계나 인과를 확정하지 않는다.