3.4 가격 변화의 흔들림을 재는 방법

3.4 가격 변화의 흔들림을 재는 방법

이 페이지는 3장의 필수 개념이다. 가격 수준이 아니라 같은 빈도의 수익률이 평균 주변에서 얼마나 흩어졌는지 계산하고, 일간·월간·연환산 단위를 분명히 표시하는 것이 목표다.

3.3에서 CAGR이 같은 두 경로도 중간 움직임은 다를 수 있음을 보았다. **Volatility(변동성)**는 일정한 빈도로 측정한 수익률이 평균에서 얼마나 넓게 흩어지는지를 나타낸다. 수익률이 평균 가까이에 모여 있으면 변동성이 낮고, 평균에서 멀리 흩어져 있으면 변동성이 높다.

표본표준편차를 네 단계로 계산한다

가상의 일간 단순수익률이 $[2\%, -1\%, 3\%, 0\%]$라고 하자.

이 페이지에서는 이 네 수익률로 더 큰 수익률 과정의 변동성을 알아보려 하므로 네 값을 Sample(표본)으로 본다. 표본 관측 수 $n$은 4다.

1. 평균을 구한다

$$\bar{r} = \frac{2\% - 1\% + 3\% + 0\%}{4} = 1\%$$

$\bar{r}$

표본의 Arithmetic mean(산술평균 수익률)

단위: 일간 퍼센트

2. 각 수익률에서 평균을 뺀다

$$\left[r_i - \bar{r}\right] = \left[1\%, -2\%, 2\%, -1\%\right]$$

$r_i$

$i$번째 관측 수익률

단위: 일간 퍼센트

$\bar{r}$

표본의 평균 수익률

단위: 일간 퍼센트

양수와 음수를 그대로 더하면 0이 되므로 흩어진 정도가 사라진다.

3. 차이를 제곱하고 합한다

퍼센트를 소수 비율로 바꾸어 계산한다.

$$\left(0.01\right)^2 + \left(-0.02\right)^2 + \left(0.02\right)^2 + \left(-0.01\right)^2 = 0.001$$

4. $n - 1$로 나눈 뒤 제곱근을 구한다

표본 관측 수 $n$은 4이므로 자유도는 3이다.

$$\begin{aligned} s^2 &= \frac{0.001}{4 - 1} \approx 0.0003333 \\ s &= \sqrt{0.0003333} \approx 0.0183 = 1.83\% \end{aligned}$$

$s^2$

Sample variance(표본분산)

단위: 수익률 제곱

$s$

Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 수익률 또는 퍼센트

$n$

표본 관측 수

단위: 관측값 개수

따라서 이 네 개 일간 수익률의 표본표준편차는 약 1.83%다.

Population(모집단)과 Sample(표본)이란?

한 학교 학생 1,000명의 시험 점수를 알고 싶다고 하자.

• Population(모집단): 학생 1,000명의 시험 점수 전체
• Sample(표본): 그중 실제로 조사한 30명의 시험 점수

모집단은 알고 싶은 전체이고, 표본은 그 전체를 알아보기 위해 뽑아 관찰한 일부다. 조사할 30명이 달라지면 표본에서 계산한 평균과 표준편차도 달라질 수 있다.

Sample(표본)에서는 왜 $n - 1$로 나누는가

관측한 네 수익률은 가능한 모든 미래 수익률이 아니라 더 큰 과정에서 얻은 작은 표본이다. 같은 표본으로 평균까지 추정하면 평균 주변의 흩어짐을 조금 작게 보는 경향이 생긴다. 분모를 $n - 1$로 두어 그 편향을 보정한다.

• 모집단 전체의 분산을 서술할 때는 상황에 따라 $n$을 사용할 수 있다.
• 과거 수익률 표본으로 변동성을 추정할 때는 표본표준편차의 $n - 1$을 흔히 사용한다.

어느 정의를 사용했는지 코드와 결과표에 남기지 않으면 같은 데이터에서도 숫자가 달라질 수 있다.

분산과 표준편차의 단위가 다르다

Variance(분산)는 수익률 차이를 제곱한 값의 평균이므로 단위가 $\text{수익률}^2$이다. Standard deviation(표준편차)은 분산의 제곱근이므로 다시 수익률과 같은 단위가 된다.

변동성을 1.83%라고 말할 수 있는 이유는 표준편차를 사용했기 때문이다. 분산 0.0003333을 0.03333%라고 바꾸어 같은 의미로 읽으면 안 된다.

Annualized volatility(연환산 변동성)는 데이터 빈도를 함께 적는다

일간 표본표준편차 1.83%를 연환산할 때 흔히 연간 거래일 수 252의 제곱근을 곱한다.

$$\begin{aligned} \sigma_{\mathrm{ann}} &= \sigma_{\mathrm{daily}}\sqrt{252} \\ &\approx 1.83\% \times \sqrt{252} \\ &\approx 28.98\% \end{aligned}$$

$\sigma_{\mathrm{daily}}$

일간 Volatility(변동성)

단위: 일간 퍼센트

$\sigma_{\mathrm{ann}}$

Annualized volatility(연환산 변동성)

단위: 연간 퍼센트

$252$

연환산에 가정한 연간 거래일 수

단위: 거래일/년

월간 변동성이라면 관례적으로 $\sqrt{12}$, 주간이라면 $\sqrt{52}$를 사용한다. 252는 모든 자산과 모든 달력에 고정된 자연법칙이 아니다. 어떤 시장의 어떤 데이터 빈도를 썼는지 먼저 정해야 한다.

여기까지 살펴본 계산을 한 줄로 정리하면 다음과 같다.

가격열을 같은 빈도의 수익률로 변환 → 평균 계산 → 평균과의 차이 계산 → 차이를 제곱해 합산 → 표준편차 → 조건을 확인한 뒤 연환산

앞부분은 가격을 비교 가능한 수익률로 바꾸어 흩어진 정도를 계산하는 과정이다. 마지막 연환산은 항상 적용하는 단계가 아니라 데이터 빈도와 아래의 전제를 확인한 뒤 선택하는 단계다.

$\sqrt{\text{시간}}$ 규칙에는 전제가 있다

분산이 시간에 비례해 더해진다고 보려면 기간별 수익률이 대체로 다음 조건을 만족해야 한다.

• 서로 강한 자기상관이 없다.
• 기간마다 분산이 크게 달라지지 않는다.
• 같은 생성 과정에서 나온 수익률로 볼 수 있다.

금융시장에서는 변동성이 특정 시기에 몰리는 Volatility clustering(변동성 군집)과 자기상관이 나타날 수 있다. 따라서 $\sqrt{252}$ 결과는 관례적인 비교값이지 내년 변동폭을 정확히 예측하는 숫자가 아니다.

큰 상승도 변동성을 높인다

변동성은 손실만 세는 지표가 아니다. 평균보다 크게 오른 수익률과 크게 내린 수익률 모두 제곱편차를 키운다.

지표	측정하는 것	놓칠 수 있는 것
Volatility(변동성)	수익률의 양방향 흩어짐	손실 방향과 발생 순서
Maximum drawdown(최대낙폭)	고점에서 저점까지 가장 큰 하락	작은 흔들림이 반복되는 정도
Liquidity risk(유동성 위험)	원하는 규모를 작은 비용으로 거래할 수 없는 위험	평상시 수익률의 분산

변동성이 낮아도 드물게 큰 손실이 나거나 거래가 막힐 수 있다. 변동성을 위험 전체와 같은 말로 사용하지 않는다.

수익률 경로

좁게 모인 경로기본 계산 예시넓게 흩어진 경로

데이터 빈도

일간 252주간 52월간 12

관측 수익률

2.00%-1.00%3.00%0.00%

평균

1.00%

표본표준편차

1.83%

연환산 변동성

28.98%

연환산은 기간 수익률이 독립적이고 분산이 일정하다는 단순화된 전제를 사용합니다.

Historical volatility(과거 변동성)는 창 길이에 따라 달라진다

Window length(창 길이)는 변동성을 계산할 때 과거 수익률을 어디까지 포함할지를 뜻한다. 예를 들어 오늘 변동성을 계산할 때 최근 20일만 사용할 수도 있고, 최근 60일이나 252일을 사용할 수도 있다.

같은 자산이라도 어느 기간을 선택하느냐에 따라 변동성은 달라진다. 최근 20일이 매우 조용했다면 20일 변동성은 낮게 나올 수 있다. 하지만 252일 안에 큰 상승과 하락이 있었다면 252일 변동성은 더 높게 나올 수 있다.

• 20일처럼 짧은 기간은 최근 시장 변화가 빠르게 반영되지만, 며칠의 큰 움직임만으로 값이 크게 달라질 수 있다.
• 252일처럼 긴 기간은 값이 비교적 안정적이지만, 최근 시장이 갑자기 달라져도 천천히 반영된다.

따라서 변동성 숫자만 적지 말고 어떤 데이터로 계산했는지도 함께 적어야 한다.

• 일간 수익률인지 월간 수익률인지
• 어느 날짜부터 어느 날짜까지 사용했는지
• 수익률이 몇 개였는지
• 일간 변동성을 연환산했다면 어떤 기준을 사용했는지
• 빠진 데이터와 휴장일을 어떻게 처리했는지

Historical volatility(과거 변동성)는 실제로 관측된 과거 수익률로 계산한다. 반면 옵션 가격은 앞으로 자산 가격이 크게 움직일 가능성이 높다고 여겨질수록 대체로 비싸진다. Implied volatility(내재변동성)는 현재 거래되는 옵션 가격을 바탕으로 시장이 미래의 가격 움직임을 어느 정도로 예상하는지 숫자로 나타낸 값이다. 이는 미래 변동성을 보장하는 예측값이 아니다. 이 페이지에서는 과거 변동성만 다룬다.

Backtest(백테스트)에서는 수익률 데이터를 먼저 점검한다

변동성을 계산하기 전에 다음 오류를 찾는다.

1. 수익률이 아니라 가격 자체의 표준편차를 계산하지 않았는가?
2. 단순수익률과 로그수익률을 중간에 섞지 않았는가?
3. 휴일과 결측값을 0% 수익률로 임의 채우지 않았는가?
4. 매매 수수료와 세금 같은 Transaction cost(거래 비용)를 차감하기 전 수익률인지, 차감한 후 수익률인지 확인했는가?
5. 레버리지 적용 전과 후 가운데 어느 포트폴리오 수익률인가?
6. 일간 값을 연간 값으로 표시하면서 $\sqrt{\text{시간}}$을 빠뜨리거나 두 번 적용하지 않았는가?

수식이 맞아도 계산에 사용한 수익률 데이터의 시점과 단위가 틀리면 결과는 의미가 없다.

자주 생기는 오해

• 가격 자체의 표준편차를 수익률 변동성이라고 부르면 안 된다.
• 큰 상승도 평균에서 멀면 변동성을 높인다.
• 낮은 변동성이 손실 가능성 0을 뜻하지 않는다.
• 표본분산과 모집단분산은 분모가 다를 수 있다.
• 일간 변동성 1%는 연간 변동성 1%와 같은 단위가 아니다.
• $\sqrt{252}$는 전제 없는 정확한 미래 예측 공식이 아니다.
• 같은 변동성이라도 손실 순서, 최대낙폭과 유동성 위험은 다를 수 있다.

이해 점검

[2%, -1%, 3%, 0%]의 평균과 표본표준편차는 얼마인가?

평균은 1%다.

평균과의 차이 제곱합을 $n - 1 = 3$으로 나눈 뒤 제곱근을 구하면 표본표준편차는 약 1.83%다.

왜 10, 20, 30 같은 가격 수준의 표준편차를 바로 투자 변동성으로 쓰지 않는가?

가격 단위와 수준이 결과를 지배해 자산 사이의 상대 움직임을 비교하기 어렵기 때문이다.

같은 빈도의 수익률로 변환한 뒤 그 수익률의 표준편차를 사용한다.

일간 표본표준편차 약 1.83%를 $\sqrt{252}$로 연환산하면 무엇을 가정하는가?

기간별 수익률의 분산이 대체로 일정하고 강한 자기상관 없이 시간에 따라 더해진다고 단순화한다.

결과 약 28.98%는 관례적인 비교값이며 미래 변동폭을 정확히 보장하지 않는다.

변동성이 같으면 최대낙폭도 항상 같은가?

아니다. 변동성은 평균 주변의 양방향 흩어짐을 보고 최대낙폭은 수익률이 나타난 순서에 따른 고점 이후 하락을 본다.

같은 수익률 집합도 순서가 달라지면 최대낙폭이 달라질 수 있다.

완료 기준

같은 빈도의 수익률 배열에서 평균, 표본분산과 표본표준편차를 계산하고, 일간·월간·연환산 단위와 $\sqrt{\text{시간}}$ 전제를 표시하며 변동성이 위험 전체가 아닌 이유를 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 계산한 비용 전 수익률에서 실제 거래 비용을 차감한다.

이 자료는 과거 수익률 변동성의 일반 원리를 설명하는 교육 자료이며 투자 위험의 완전한 측정이나 미래 변동성 예측을 제공하지 않는다.