8.11 평균회귀를 확장한 통계적 차익거래

8.11 평균회귀를 확장한 통계적 차익거래

두 가격이 비슷하게 움직이고 현재의 상대적 차이도 같아 보이더라도, 그 차이가 안정적으로 오르내렸는지 계속 벌어졌는지에 따라 같은 거래 결론을 내릴 수 없는 이유를 계산하는 것이 목표다.

함께 움직이는 가격과 안정적인 관계는 다르다

Pair spread(페어 스프레드)는 한 가격에 미리 정한 비율과 기준값을 적용한 뒤 다른 가격에서 뺀 상대가격 차이다. 이는 2.6 매수호가·매도호가와 스프레드의 매수호가와 매도호가 차이가 아니다. 이 페이지에서는 두 자산 가격의 관계를 한 줄의 값으로 추적하기 위해 페어 스프레드라는 이름을 쓴다.

Linear combination(선형결합)은 한 값에 정한 비율을 곱한 뒤 다른 값과 더하거나 빼서 하나의 새 값을 만드는 방식이다. 8.8 일시적 이탈이 되돌아온다는 가정에서 배운 Rolling Z-score(이동 Z점수)는 최근 일정 개수의 스프레드로 평균과 표준편차를 매번 다시 계산해 현재 스프레드의 상대 위치를 나타낸다.

아래 표의 ‘세 관계’는 안정적 관계, 지속 발산과 구조 붕괴 세 행을 뜻한다. 각 행은 공통으로 사용하는 둘째 가상 가격 $x$ [50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57]원에 해당 행의 첫째 가상 가격 $y$를 시점별로 대응시킨 하나의 가격 쌍이다. 이처럼 $x$는 그대로 두고 $y$만 바꾸면 가격 수준의 상관은 세 경로 모두 매우 높지만 스프레드의 전체 모양은 다르다.

지속 발산은 가격 상관이 정확히 1이어도 스프레드가 0부터 7까지 계속 오른다. 구조 붕괴는 앞 네 기간의 진동이 뒤 네 기간에 새로운 높은 수준으로 바뀐다. 마지막 Z점수 하나는 이 전체 경로 차이를 보존하지 않는다.

주어진 기준값과 비율로 스프레드를 만든다

세 관계에는 같은 Intercept(절편), Hedge ratio(헤지 비율)와 Rolling window(이동 구간)를 적용한다. 이 값들은 실제 자료에서 추정한 값이 아니라 세 관계를 같은 규칙으로 비교하기 위해 미리 정한 교육용 입력이다. Pair spread(페어 스프레드)는 다음과 같다.

$$q_t=y_t-(a+h x_t)$$

$q_t$

시점 $t$의 Pair spread(페어 스프레드)

단위: 원

$y_t$

첫째 가상 자산 가격

단위: 원

$x_t$

둘째 가상 자산 가격

단위: 원

$a$

주어진 Intercept(절편)

단위: 원

$h$

주어진 Hedge ratio(헤지 비율)

단위: 첫째 가격 단위/둘째 가격 단위

따라서 절편과 헤지 비율을 바꾸면 같은 두 가격에서도 스프레드가 달라진다. 이 페이지는 두 값을 추정하지 않고 주어진 교육용 입력으로만 사용한다. 실제 수치와 각 수치의 쓰임은 아래 검산을 시작하기 전에 표로 정리한다.

안정적 관계의 마지막 값을 순서대로 검산한다

검산에 사용할 안정적 관계의 마지막 가격과 교육용 입력은 다음과 같다.

표의 값을 계산 순서대로 대입한다. 먼저 마지막 스프레드 4원을 구한 뒤 마지막 네 스프레드의 평균, 표본표준편차와 Z점수를 계산한다.

$$\begin{aligned} q_8&=123-(5+2\times57)=4\text{원},\\ \bar{q}&=\frac{-2+2+0+4}{4}=1\text{원},\\ s_q&=\sqrt{\frac{(-2-1)^2+(2-1)^2+(0-1)^2+(4-1)^2}{4-1}} \approx2.581989\text{원},\\ z_8&=\frac{4-1}{2.581989}\approx1.161895. \end{aligned}$$

$q_8$

안정 경로 마지막 기간의 Pair spread(페어 스프레드)

단위: 원

$\bar{q}$

마지막 네 스프레드의 Sample mean(표본평균)

단위: 원

$s_q$

마지막 네 스프레드의 Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 원

$z_8$

마지막 스프레드의 Rolling Z-score(이동 Z점수)

단위: 없음

마지막 Z점수 약 1.161895는 현재 네 값 안에서 4원이 평균보다 얼마나 높은지만 말한다. 전체 스프레드가 반복해서 중심으로 돌아왔는지, 한 방향으로 움직이는지, 중간에 관계가 바뀌었는지는 별도로 봐야 한다.

상관과 공적분은 다른 질문이다

Cointegration(공적분)은 두 가격이 각각 움직이더라도 특정 비율과 기준값으로 묶어 만든 값이 장기간 한 방향으로 멀어지지 않고 비교적 안정적인 중심 주변에 머무는지를 묻는 관계다. 5.3 공분산을 -1~1로 표준화한 관계의 Pearson correlation(피어슨 상관)이 같은 기간에 두 가격이 함께 움직였는지를 묻는 것과는 다른 질문이다.

높은 상관은 스프레드 안정성이나 Cointegration(공적분)을 보장하지 않는다. 반대로 공적분 검정을 통과하더라도 관계가 영구적이라는 뜻이 아니다. 높은 상관, 큰 스프레드, 큰 Z점수나 공적분 검정 통과 어느 것도 Risk-free arbitrage(무위험 차익거래)와 미래 수렴을 보장하지 않는다.

이 도구는 절편과 헤지 비율을 주어진 교육용 입력으로 사용하며 Cointegration(공적분)을 판정하지 않는다. 회귀 계수 추정, 개별 가격과 결합 관계의 시계열 안정성 검정, 여러 페어 선택, 주문 실행, 비용과 백테스트는 이 페이지에서 다루지 않는다.

안정적 관계지속 발산구조 붕괴

비교할 가상 가격 관계안정적 관계지속 발산구조 붕괴

Hedge ratio(헤지 비율)

2.00

Intercept(절편)

5원

Z점수 이동 구간

4기간

세 가격 관계의 Pearson 상관과 마지막 스프레드 Z점수

관계	가격 상관	마지막 Z점수
안정적 관계	0.965016	1.161895
지속 발산	1.000000	1.161895
구조 붕괴	0.983128	1.161895

선택한 관계의 두 가격과 계산된 스프레드

기간	첫째 가격 y	둘째 가격 x	스프레드 q	이동 Z점수
1	104	50	-1.00	정의 불가
2	108	51	1.00	정의 불가
3	108	52	-1.00	정의 불가
4	112	53	1.00	0.866025
5	111	54	-2.00	-1.166667
6	117	55	2.00	1.095445
7	117	56	0.00	-0.146385
8	123	57	4.00	1.161895

이 도구는 Cointegration(공적분)을 판정하지 않습니다. Hedge ratio(헤지 비율)와 Intercept(절편)는 추정 결과가 아니라 주어진 교육용 입력입니다.

안정적 관계 선택 결과

가격 상관 0.965016

마지막 스프레드

4.00원

마지막 이동 구간

[-2, 2, 0, 4]

평균

1.00원

표본표준편차

2.581989원

마지막 Z점수

1.161895

안정적 진동 후보 · 설계에 쓰지 않은 새 기간에서도 반복 복귀가 유지되는지 추가 검증

세 관계의 같은 Z점수를 다르게 읽는다

• 안정적 관계는 전체 스프레드가 양수와 음수를 오갔지만 앞으로도 복귀한다는 보장은 없다.
• 지속 발산은 마지막 네 값 [4, 5, 6, 7] 안에서 7의 상대 위치가 1.161895일 뿐, 스프레드는 한 번도 내려오지 않았다.
• 구조 붕괴는 마지막 네 값 [8, 10, 12, 14]의 Z점수가 같아도 앞부분의 중심 근처로 돌아온다는 근거가 약하다.

큰 스프레드와 큰 Z점수는 수렴 방향, 수렴 확률이나 시간을 직접 알려 주지 않는다. 관계 상태를 확인하지 않고 “Z점수가 같으니 같은 거래”라고 결론 내리면 안 된다.

자주 생기는 오해

• 높은 가격 상관은 스프레드 안정성을 뜻하지 않는다.
• 완전한 가격 상관 1이어도 스프레드는 계속 벌어질 수 있다.
• 같은 마지막 Z점수는 같은 전체 관계나 같은 거래 결론을 뜻하지 않는다.
• 주어진 헤지 비율 2가 실제 자료의 최적 추정값이라는 뜻은 아니다.
• Cointegration(공적분) 검정 통과는 영구 관계나 무위험 수익을 보장하지 않는다.
• Statistical arbitrage(통계적 차익거래)는 Risk-free arbitrage(무위험 차익거래)가 아니다.

이해 점검

지속 발산 경로의 가격 상관이 1인데 거래 결론을 낼 수 없는 이유는 무엇인가?

두 가격은 완전한 선형 관계로 함께 오르지만 주어진 헤지 비율과 절편으로 만든 스프레드는 0부터 7까지 계속 상승해 복귀를 보이지 않기 때문이다.

세 경로의 마지막 Z점수가 약 1.161895로 같은 이유는 무엇인가?

각 마지막 네 값에서 마지막 값이 그 구간 평균보다 같은 표준편차 배수만큼 위에 있기 때문이다. 전체 경로의 안정성은 이 숫자에 포함되지 않는다.

안정 경로의 마지막 스프레드 4원은 어떻게 계산하는가?

둘째 가격 57원에 헤지 비율 2를 곱하고 절편 5원을 더한 뒤 첫째 가격 123원에서 빼서 123 - (5 + 2 곱하기 57) = 4원으로 계산한다.

이 페이지의 도구가 공적분을 판정하지 않는 이유는 무엇인가?

절편과 헤지 비율을 추정하거나 두 가격과 결합 관계의 시계열 안정성을 검정하지 않고, 주어진 값으로 만든 스프레드와 Z점수만 계산하기 때문이다.

완료 기준

안정 경로의 상관 0.965016, 마지막 스프레드 4원, 평균 1원, 표본표준편차 2.581989원, Z점수 1.161895를 재현하고, 상관 1인 지속 발산과 상관 0.983128인 구조 붕괴가 같은 Z점수를 가져도 같은 거래가 아닌 이유를 설명할 수 있으면 9.1 과거 데이터로 전략을 검증하는 올바른 순서로 넘어간다.

이 가상 페어와 주어진 가격 조합은 상관, 스프레드와 관계 안정성을 구분하는 교육 자료이며 실제 공적분 판정, 무위험 차익거래, 수익 또는 투자 성과를 보장하지 않는다.