4.7 정보를 알게 된 뒤 바뀌는 확률

4.7 정보를 알게 된 뒤 바뀌는 확률

이 페이지는 4장의 필수 개념이다. 조건 사건에 속한 관측만 새 표본공간으로 남기고 조건부확률의 방향을 올바르게 읽는 것이 목표다.

전체 관측 100개에서 B가 일어났다는 정보를 얻었다고 하자.

1. 단계 1전체 표본100개

   A 50개 · B 40개
   A와 B 모두 30개

   ↓→
2. 단계 2조건 B 적용40개

   B가 아닌 60개 제외
   B인 관측만 남김

   ↓→
3. 단계 3A 다시 세기30개

   B인 40개 가운데
   A도 일어난 비율 75%

분모는 전체 100개가 아니라 조건 B에 남은 40개다.

조건부확률은 더 작은 세계에서 비율을 다시 센다

Conditional probability(조건부확률) $P(A\mid B)$는 B가 일어났다는 조건 아래 A가 일어날 확률이다.

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \qquad P(B)>0$$

$A$

조건 안에서 확인할 Event(사건)

단위: 관측의 집합

$B$

이미 일어났다고 아는 Condition event(조건 사건)

단위: 관측의 집합

$P(A\cap B)$

A와 B의 Joint probability(결합확률)

단위: 0~1의 무차원 비율

$P(B)$

조건 사건 B의 확률

단위: 0~1의 무차원 비율

$P(A\mid B)$

B를 안 뒤 A가 일어날 Conditional probability(조건부확률)

단위: 0~1의 무차원 비율

조건 사건 확률이 0이면 남는 관측이 없어 이 비율을 정의할 수 없다.

방향을 바꾸면 같은 교집합도 분모가 달라진다

앞에서 정의한 예시를 사용하면 A와 B의 교집합은 30개, B 전체는 40개, A 전체는 50개다.

$$\begin{aligned} P(A\mid B) &= \frac{30}{40}=75\% \\ P(B\mid A) &= \frac{30}{50}=60\% \end{aligned}$$

$P(A\mid B)$

B인 관측 안에서 A인 비율

단위: 퍼센트

$P(B\mid A)$

A인 관측 안에서 B인 비율

단위: 퍼센트

두 식의 분자는 같은 30개지만 질문이 다르다. 세로 막대 오른쪽 사건이 새 분모를 정한다.

조건 방향

B를 안 뒤 AA를 안 뒤 B

2×2 관측 빈도

A이면서 BA이면서 B 아님A 아님이면서 B둘 다 아님

사건 A와 B의 관측 빈도표

구분	B	B 아님	행 합
A	30	20	50
A 아님	10	40	50
열 합	40	60	100

선택한 질문P(A | B)75.00%

공통 분자는 30개이고, 조건에 남은 새 분모는 40개입니다.

독립이면 조건을 알아도 확률이 바뀌지 않는다

A와 B가 독립이고 $P(B)>0$이면 B라는 정보를 얻어도 A의 확률은 그대로다.

$$P(A\mid B)=P(A)$$

$P(A\mid B)$

B를 안 뒤 A의 조건부확률

단위: 0~1의 무차원 비율

$P(A)$

조건을 알기 전 A의 Marginal probability(주변확률)

단위: 0~1의 무차원 비율

예시 표에서는 $P(A)=50\%$인데 $P(A\mid B)=75\%$여서 B라는 정보가 이 표 안의 A 비율을 바꾼다.

함께 나타났다고 원인이라고 단정할 수 없다

비 오는 날에 손실이 자주 나타났다고 하자. 이것만 보고 비 때문에 손실이 났다고 말할 수는 없다. 비가 자주 오는 시기에 시장도 크게 흔들렸거나, 거래량 같은 다른 이유가 두 현상에 함께 영향을 주었을 수 있다. 조건부확률이 알려 주는 것은 비 오는 날 중 손실이 난 날의 비율뿐이다.

또 결과를 먼저 본 뒤 조건을 여러 번 바꾸면서 가장 높은 값만 고르면, 우연히 좋아 보이는 조건을 선택할 수 있다. 백테스트에서는 조건을 미리 정하고 몇 가지 조건을 시험했는지 기록해야 한다.

자주 생기는 오해

• $P(A\mid B)$와 $P(B\mid A)$는 일반적으로 같지 않다.
• 세로 막대 오른쪽 사건이 새 분모다.
• 두 일이 함께 자주 나타나도 한쪽 때문에 다른 쪽이 생겼다고 단정할 수 없다.
• 결과를 본 뒤 조건을 골라 높은 값만 보여 주면 우연히 좋은 결과를 고를 수 있다.
• 확률 0인 사건으로 단순한 비율형 조건부확률을 계산할 수 없다.

이해 점검

$P(A\mid B)$에서 어떤 관측이 분모에 남는가?

B가 일어난 관측만 남는다. 예시에서는 40개다.

왜 $P(A\mid B)$와 $P(B\mid A)$의 분자는 같고 분모는 다른가?

두 식 모두 A와 B의 교집합을 세지만 첫 식은 B 전체, 둘째 식은 A 전체를 조건 집합으로 사용하기 때문이다.

A와 B가 독립이면 B를 안 뒤 A의 확률은 어떻게 되는가?

$P(A\mid B)=P(A)$다. B의 정보가 A의 확률을 바꾸지 않는다.

두 일이 함께 자주 나타나도 원인을 바로 알 수 없는 이유는 무엇인가?

두 일에 함께 영향을 주는 다른 이유가 있거나, 우연히 함께 나타났을 수 있기 때문이다.

완료 기준

2행 2열 표에서 조건 사건만 남겨 새 분모를 만들고 $P(A\mid B)$와 $P(B\mid A)$를 각각 계산하며, 두 일이 함께 나타난다는 사실만으로 원인을 단정할 수 없음을 설명할 수 있으면 다음 페이지로 넘어간다. 다음 페이지에서는 역방향 조건부확률을 사전확률과 결합한다.

이 자료는 조건부확률의 일반 원리를 설명하는 교육 자료이며 특정 정보가 시장 결과의 원인이라고 단정하지 않는다.