8.4 모든 관측값에 같은 가중치를 주는 평균

8.4 모든 관측값에 같은 가중치를 주는 평균

가상 가격 20, 22, 24, 26원에 3기간 창을 놓고 첫 평균이 언제 생기며 새 값이 들어올 때 무엇이 빠지는지 추적하는 것이 목표다.

네 가격 중 몇 번째부터 평균을 만들 수 있을까

8.3에서는 구간을 길게 할수록 평균이 부드러워지는 대신 현재 변화 반영이 늦어진다는 교환관계를 봤다. 이번에는 별도의 짧은 가상 경로 20, 22, 24, 26원에서 3기간 Simple moving average(단순이동평균, SMA)의 모든 결과를 계산한다.

3기간 평균을 기다리는 네 개의 가상 가격

기간	가상 가격	그때까지 관측 수	3기간 평균 상태
1	20원	1개	관측 수 부족
2	22원	2개	관측 수 부족
3	24원	3개	첫 계산 가능
4	26원	4개	창을 한 칸 이동

3기간 평균에는 가격 세 개가 필요하다. 따라서 첫째와 둘째 기간 결과는 아직 숫자가 아니다. 가격 0원도, 방향이 없는 중립 신호 0도 아닌 “계산에 필요한 관측이 부족함”을 뜻하는 null이다.

첫 창과 다음 창을 손으로 옮긴다

세 번째 기간에는 처음으로 세 가격이 모인다. 네 번째 기간에는 새 가격 26원이 들어오고 가장 오래된 20원이 창에서 완전히 빠진다.

$$\begin{aligned} SMA_3^{(3)}&=\frac{20\text{원}+22\text{원}+24\text{원}}{3}=22\text{원}\\ SMA_4^{(3)}&=\frac{22\text{원}+24\text{원}+26\text{원}}{3}=24\text{원} \end{aligned}$$

$SMA_3^{(3)}$

세 번째 기간에 처음 계산 가능한 3기간 Simple moving average(단순이동평균)

예시 값과 단위: 22원

$SMA_4^{(3)}$

네 번째 기간에 창을 한 칸 옮긴 3기간 Simple moving average(단순이동평균)

예시 값과 단위: 24원

각 창 안의 세 가격은 모두 1/3의 같은 Weight(가중치)를 갖는다. 20원의 가중치가 1/3에서 천천히 작아지는 것이 아니라, 창이 이동하는 순간 구간 밖 가중치 0이 된다는 점이 핵심이다.

3기간 SMA 전체 시계열과 상태 구분

기간	창 안의 가격	결과	뜻
1	20원	null	관측 1/3개
2	20, 22원	null	관측 2/3개
3	20, 22, 24원	22원	첫 유효 SMA
4	22, 24, 26원	24원	20원 제외, 26원 진입

따라서 전체 시계열은 [null, null, 22, 24]다. 계산 함수가 null을 유지하면 데이터가 없는 상태를 임의의 숫자로 바꾸지 않고 다음 단계에 전달할 수 있다.

SMA 이동 구간

3기간

현재 기간

3번째

관측 부족 · 2번째첫 유효 시점 · 3번째한 칸 뒤 · 4번째

1. 1번째20원가중치 1/3
2. 2번째22원가중치 1/3
3. 3번째24원가중치 1/3
4. 4번째26원아직 관측 전

전체 3기간 SMA 시계열

1. 1번째null
2. 2번째null
3. 3번째22원
4. 4번째24원

3번째 기간 결과

SMA 22.00원

20 + 22 + 24원을 3로 나누며 각 가중치는 1/3입니다.

새로 들어온 값

24원

이번 이동에서 빠진 값

없음

도구의 초기 상태는 세 번째 기간 첫 유효 SMA 22원이다. 현재 기간을 네 번째로 한 칸 옮기면 26원이 들어오고 20원이 완전히 빠지며 결과가 24원으로 바뀐다.

동일가중 규칙을 일반화한다

$$SMA_t^{(n)}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}P_{t-i}$$

$SMA_t^{(n)}$

시점 $t$의 $n$기간 Simple moving average(단순이동평균)

단위: 원

$P_{t-i}$

시점 $t$까지 확정되어 최근 구간에 포함된 가상 가격

단위: 원

$n$

Window size(이동 구간), 평균에 필요한 가격 수

단위: 기간

$1/n$

창 안의 각 가격에 주는 동일한 Weight(가중치)

단위: 없음

당일 종가를 포함하는 SMA는 그 종가가 확정된 뒤에야 계산할 수 있다. 계산에 쓴 같은 종가로 이미 체결했다고 가정하지 말고, 실제 주문이 가능한 다음 시점을 구분한다. 전체 신호·주문·체결 시간축은 9.1에서 다룬다.

네 상태를 섞지 않는다

• 계산 전 null은 가격 0원이나 중립 신호 0이 아니다. 관측 수 부족 상태다.
• SMA는 지금까지 나온 전체 가격의 누적 평균이 아니다. 매 시점 최근 고정 구간만 사용한다.
• 가장 오래된 가격의 가중치는 서서히 줄지 않는다. 창 밖으로 이동하면 1/n에서 0으로 바뀐다.
• 종가 포함 SMA를 종가 확정 전에 알았다고 둘 수 없다. 계산 가능 시각과 체결 가능 시각을 분리한다.
• 유명한 구간이나 과거 결과가 좋아 보인 구간이 항상 최적은 아니다. 기간 최적화와 실제 성과 비교는 이 페이지의 범위가 아니다.
• 오래된 값의 영향이 점차 줄어드는 Exponential moving average(지수이동평균, EMA)는 8.5에서 별도로 계산한다.

이해 점검

20, 22, 24, 26원에 3기간 SMA를 적용하면 전체 결과는 무엇인가?

[null, null, 22, 24]다. 첫 두 기간은 필요한 가격 세 개가 모이지 않은 상태다.

세 번째 기간 첫 SMA에서 각 가격의 가중치는 얼마인가?

20, 22, 24원이 모두 1/3의 같은 가중치를 가지며 평균은 22원이다.

네 번째 기간에 26원이 들어오면 20원은 어떻게 되는가?

20원은 최근 3기간 창 밖으로 완전히 빠져 가중치가 0이 되고, 창은 22, 24, 26원, SMA는 24원이 된다.

당일 종가를 포함한 SMA로 거래할 때 시점을 어떻게 구분해야 하는가?

종가가 확정된 뒤 SMA를 계산하고, 그 뒤 실제 주문과 체결이 가능한 다음 가격을 사용해야 한다.

완료 기준

[20, 22, 24, 26]원의 3기간 SMA를 [null, null, 22, 24]로 쓰고, 첫 유효 시점·각 가중치 1/3·네 번째 기간에 들어오는 26원과 완전히 빠지는 20원을 설명할 수 있으면 8.5 최근 값에 더 큰 가중치를 주는 평균으로 넘어간다.

이 가상 SMA는 동일가중 이동 창을 배우기 위한 계산 자료이며 실제 시세, 투자 판단이나 성과 예측이 아니다.