6.1 수익을 변동성으로 나눠 비교하기

6.1 수익을 변동성으로 나눠 비교하기

평균 월수익률이 모두 0.5%인 두 가상 전략을 비교한다. 수익률의 흔들림이 다른데도 평균만 같다고 같은 성과로 평가해도 되는지 직접 계산하는 것이 이 페이지의 질문이다.

Risk-free rate(무위험수익률)는 비교의 출발점이다

Risk-free rate(무위험수익률)는 위험을 감수하지 않아도 얻을 수 있다고 가정하는 비교 기준 수익률이다. 현실에는 모든 위험이 완전히 0인 자산이 없으므로, 실제 분석에서는 전략과 같은 통화로 표시되고 관측 기간에 맞는 신용도가 높은 Short-term government bond yield(단기 국채 수익률) 등을 대용치로 사용한다.

Sharpe ratio(샤프 비율)는 이 기준 수익률을 먼저 빼고, 위험을 감수해 추가로 얻은 Excess return(초과수익률)만 변동성과 비교한다. 예를 들어 같은 연 단위로 전략 수익률이 8%, 무위험수익률이 3%라면 초과수익률은 5%다. 이번 네 달 예제에서는 두 전략의 변동성 차이에 먼저 집중하기 위해 무위험수익률을 연 0%로 단순화하며, 이를 현실의 고정값으로 가정하지 않는다.

평균이 같은 두 전략에서 시작한다

두 전략을 같은 네 달 동안 운용했다고 하자.

평균 월수익률이 같은 두 가상 전략

월	전략 A	전략 B
1월	1.0%	2.0%
2월	-0.5%	-1.0%
3월	1.5%	2.0%
4월	0.0%	-1.0%
산술평균	0.5%	0.5%

평균만 보면 두 전략은 같다. 그러나 전략 B는 2%와 -1%를 오가고, 전략 A는 평균에서 덜 멀리 움직인다. Sharpe ratio(샤프 비율)는 이 차이를 변동성 한 단위당 평균 초과수익률로 비교한다.

먼저 흔들림을 숫자로 만든다

네 달은 전체 모집단이 아니라 관측한 표본이므로 Sample standard deviation(표본표준편차)을 사용한다.

$$s = \sqrt{ \frac{ \sum_{t=1}^{n}(r_t-\bar{r})^2 }{n-1} }$$

$s$

Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 월수익률

$r_t$

$t$번째 달의 전략 수익률

단위: 월수익률

$\bar{r}$

네 달 수익률의 Sample mean(표본평균)

예시 값: 0.005, 단위: 월수익률

$n$

관측한 달의 수

예시 값: 4개월, 단위: 개월

전략 A는 평균 0.5%에서 각각 0.5%p, -1.0%p, 1.0%p, -0.5%p 떨어져 있다.

$$\begin{aligned} s_A &= \sqrt{ \frac{ (0.010-0.005)^2+(-0.005-0.005)^2+(0.015-0.005)^2+(0-0.005)^2 }{3} } \\ &=0.00912871 \\ &\approx 0.912871\% \end{aligned}$$

$s_A$

전략 A 월수익률의 Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 월수익률

같은 방식으로 전략 B의 표본표준편차를 계산한다.

$$\begin{aligned} s_B &= \sqrt{ \frac{ (0.020-0.005)^2+(-0.010-0.005)^2+(0.020-0.005)^2+(-0.010-0.005)^2 }{3} } \\ &=0.01732051 \\ &\approx 1.732051\% \end{aligned}$$

$s_B$

전략 B 월수익률의 Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 월수익률

전략 B의 월 변동성은 전략 A보다 약 1.90배 크다. 이제 같은 평균을 이 서로 다른 변동성으로 나눈다.

같은 단위의 초과수익률을 변동성으로 나눈다

Excess return(초과수익률)은 전략 수익률에서 같은 기간의 무위험수익률을 뺀 값이다. 월 자료의 Annualized Sharpe ratio(연환산 샤프 비율)는 다음과 같이 계산한다.

$$S_a = \sqrt{P} \times \frac{\bar{r}_e}{s_e}$$

$S_a$

Annualized Sharpe ratio(연환산 샤프 비율)

단위: 무차원

$P$

Periods per year(연간 관측 수)

예시 값: 12회/년

$\bar{r}_e$

월 초과수익률의 Sample mean(표본평균)

예시 값: 0.005, 단위: 월수익률

$s_e$

월 초과수익률의 Sample standard deviation(표본표준편차)

단위: 월수익률

연 무위험수익률이 0%이면 두 전략의 평균 월 초과수익률도 0.5%다.

$$\begin{aligned} S_{A,a} &= \sqrt{12}\times\frac{0.005}{0.00912871} \approx 1.897367 \\ S_{B,a} &= \sqrt{12}\times\frac{0.005}{0.01732051} =1.000000 \end{aligned}$$

$S_{A,a}$

전략 A의 Annualized Sharpe ratio(연환산 샤프 비율)

단위: 무차원

$S_{B,a}$

전략 B의 Annualized Sharpe ratio(연환산 샤프 비율)

단위: 무차원

평균수익률은 같지만 전략 A가 변동성 한 단위당 더 많은 평균 초과수익률을 남겼다. 이것이 이 네 달 표본에서 전략 A의 Sharpe가 더 높은 이유다.

연 무위험수익률 (%)

월 무위험수익률은0.000%입니다. 월 자료이므로 연 수익률을 12개월 복리 단위로 바꿉니다.

현재 연환산 Sharpe가 더 높은 쪽은전략 A입니다.

전략 A

평균 월 초과수익률

0.500%

월 표본표준편차

0.912871%

연환산 Sharpe

1.897

전략 B

평균 월 초과수익률

0.500%

월 표본표준편차

1.732051%

연환산 Sharpe

1.000

두 전략의 평균이 같아도 변동성이 다르면 Sharpe는 달라집니다.

가상 월수익률과 같은 기간 무위험수익률을 뺀 값

월	전략 A	A 초과수익률	전략 B	B 초과수익률
1	1.0%	1.000%	2.0%	2.000%
2	-0.5%	-0.500%	-1.0%	-1.000%
3	1.5%	1.500%	2.0%	2.000%
4	0.0%	0.000%	-1.0%	-1.000%

무위험수익률과 관측 기간부터 맞춘다

월수익률에서 연 무위험수익률을 그대로 빼면 기간 단위가 다르다. Annual risk-free rate(연 무위험수익률)를 월 복리 수익률로 바꾼 뒤 각 월수익률에서 빼야 한다.

$$r_{f,p} = (1+r_{f,a})^{\frac{1}{P}}-1$$

$r_{f,p}$

Period risk-free rate(기간 무위험수익률)

단위: 기간당 소수 수익률

$r_{f,a}$

Annual risk-free rate(연 무위험수익률)

단위: 연간 소수 수익률

$P$

Periods per year(연간 관측 수)

월 자료의 예시 값: 12회/년

예를 들어 연 무위험수익률이 6%라면 월 무위험수익률은 약 0.487%다. 도구에서 0%를 6%로 바꾸면 두 전략의 평균 월 초과수익률은 약 0.013%로 함께 줄지만 각 전략의 변동성은 그대로다.

연환산 숫자에는 가정이 들어 있다

기간 Sharpe에 $\sqrt{12}$를 곱하는 방식은 월별 분산이 거의 더해지고, 5.14 시간이 다른 같은 변수 사이의 관계에서 배운 Autocorrelation(자기상관)이 관련 시차에서 작다는 가정에 의존한다.

여기서 자기상관이 작다는 것은 월 초과수익률이 선택한 시차에서 같은 방향으로 이어지는 지속 패턴이나 반대 방향으로 번갈아 나타나는 반전 패턴이 뚜렷하지 않다는 뜻이다.

Sharpe 하나로 보이지 않는 위험을 따로 확인한다

Sharpe는 상승과 하락을 모두 변동성으로 센다. 다음 위험과 실행 제약은 Sharpe 하나에 직접 드러나지 않으므로 따로 확인해야 한다.

표의 수치는 개념을 설명하기 위한 가상값이다. 과거 표본 Sharpe는 미래 성과의 보증서도 아니다.

숫자를 읽을 때 바로잡아야 할 오해

• 평균수익률이 같다고 두 전략의 위험조정 성과도 같다고 판단하지 않는다.
• 연 무위험수익률을 월수익률에서 그대로 빼지 않는다.
• 높은 Sharpe를 손실 가능성이나 최대낙폭이 작다는 뜻으로 읽지 않는다.
• 짧은 표본의 연환산 Sharpe를 미래의 고정 성과로 보지 않는다.
• 관측 빈도와 연환산 가정이 다른 Sharpe를 그대로 비교하지 않는다.

이해 점검

두 전략의 평균 월수익률이 모두 0.5%인데 Sharpe가 다른 이유는 무엇인가?

전략 A의 표본표준편차는 약 0.913%, 전략 B는 약 1.732%다. 같은 평균 초과수익률을 더 작은 변동성으로 나눈 전략 A의 위험 한 단위당 값이 더 크다.

왜 전략 수익률에서 무위험수익률을 빼는가?

위험을 감수하지 않아도 얻을 수 있다고 가정한 기준 수익을 제외하고, 위험 부담에 대한 추가 보상인 Excess return(초과수익률)만 변동성과 비교하기 위해서다.

연 6% 무위험수익률을 월수익률에서 바로 6% 빼면 왜 안 되는가?

연간과 월간은 기간 단위가 다르다. 연 6%를 월 복리 수익률 약 0.487%로 바꾼 뒤 월수익률에서 빼야 한다.

전략 A의 Sharpe가 더 높으면 최대낙폭도 반드시 더 작은가?

아니다. Sharpe는 평균 초과수익률과 전체 변동성을 요약할 뿐 손실의 순서, 꼬리손실과 고점 대비 낙폭을 직접 측정하지 않는다.

완료 기준

두 전략의 평균, 표본표준편차와 연환산 Sharpe를 손으로 계산하고, 무위험수익률의 기간을 맞춰야 하는 이유와 Sharpe가 말하지 못하는 위험을 설명할 수 있으면 된다. 다음 페이지에서는 두 자산의 공분산이 포트폴리오 전체 변동성을 어떻게 바꾸는지 살펴본다.

이 자료의 전략과 월수익률은 계산 원리를 설명하기 위한 가상값이며 실제 운용 성과, 미래 예측이나 투자 권유를 뜻하지 않는다.