Fourier Transform(푸리에 변환)의 복소 기저와 주파수 성분 분리하기

복소 기준 파동으로 주파수 성분 분리하기

복잡한 시간 그래프에 복소 기준 파동을 곱해 푸리에 계수와 진폭·위상을 구하고, 1Hz와 2Hz 성분을 각각 분리한 뒤 다시 합쳐 원래 표본을 복원한다.

복잡한 시간 그래프에서는 반복 속도가 바로 보이지 않는다

교실에서 일정한 간격마다 소리의 세기를 숫자로 적는다고 생각해 보자. 시간에 따라 달라지는 이 숫자 묶음이 Signal(신호)이고, 가로축을 시간으로 놓아 그린 모습이 Time domain(시간 영역)이다.

파동 하나라면 반복 속도를 눈으로 알아보기 쉽다. 여러 파동이 섞이면 그래프가 복잡해져 “1초에 한 번 반복하는 재료가 있는가, 두 번 반복하는 재료도 있는가?”를 바로 답하기 어렵다. 이 질문에 답하도록 같은 신호를 반복 속도별 재료표로 바꾼 모습이 Frequency domain(주파수 영역)이다.

• Amplitude(진폭)는 파동이 위아래로 흔들리는 세기다.
• Frequency(주파수)는 1초 동안 반복하는 횟수이며 단위는 Hertz(헤르츠, Hz)다.
• Period(주기)는 한 번 반복하는 데 걸리는 시간이다.
• Phase(위상)는 같은 파동이 어느 지점에서 시작하는지를 나타낸다.

각도 $360^\circ$는 한 바퀴이고 라디안으로는 $2\pi$다. 이 각도를 사용하면 한 개의 Cosine wave(코사인파)를 다음처럼 만들 수 있다.

$$x(t)=A\cos\left(2\pi f t+\phi\right)$$

$x(t)$

시각 $t$에서 관측한 코사인파의 값

단위: 신호의 측정 단위

$A$

파동의 최대 흔들림인 Amplitude(진폭)

단위: 신호의 측정 단위

$f$

1초 동안 반복하는 횟수인 Frequency(주파수)

단위: $\text{Hz}$

$t$

관측 시각

단위: $\text{s}$

$\phi$

파동의 시작 위치인 Phase(위상)

단위: $\text{rad}$

진폭이나 주파수가 다른 코사인파를 더하면 복잡한 모양이 된다. 먼저 아래 도구에서 같은 1초를 네 번 또는 여덟 번 기록해 보자. 아직 계산법을 몰라도 괜찮다. 표본 수를 바꾸었을 때 시간 그래프의 점과 오른쪽 주파수 막대가 함께 바뀐다는 사실만 관찰하면 된다.

장면

손계산 예제서로 다른 세기시작 위치 이동

현재는 1초를 4번 기록합니다. 본문 손계산과 같은 1Hz·2Hz 코사인파입니다. 네 강조점은 차례로 2, -1, 0, -1입니다.

파동 A 주파수

2Hz

파동 A 진폭

1.0

파동 B 주파수

1Hz

파동 B 진폭

1.0

파동 B 시작 위치

0도

파동 A파동 B합성 신호

찾아낸 주파수 재료

• 1Hz진폭 1
• 2Hz진폭 1

서로 다른 주파수는 각각의 막대로 분리됩니다. 위상을 바꾸면 시간 모양은 달라져도 각 막대의 높이는 유지됩니다.

먼저 손계산에 넣을 시간 표본을 만든다

이제 진폭이 각각 1인 1Hz 코사인파와 2Hz 코사인파를 더한다. 두 모드 모두 관측 시간은 1초다. 달라지는 것은 1초를 네 번 기록하는지, 여덟 번 기록하는지뿐이다.

표본 4개 모드에서는 Sampling rate(표본 추출률)가 4Hz다. $n$번째 시각은 $t_n=n/4$초이므로 먼저 시각을 만든 뒤 두 코사인파에 대입한다.

$$\begin{aligned} t_n&=\frac{n}{4},\\ x_n &=\cos\left(2\pi\times1\times t_n\right) +\cos\left(2\pi\times2\times t_n\right)\\ &=\cos\left(2\pi\frac{1}{4}n\right) +\cos\left(2\pi\frac{2}{4}n\right). \end{aligned}$$

$t_n$

$n$번째 표본을 기록하는 시각

단위: $\text{s}$

$x_n$

$n$번째 시각에서 두 코사인파를 더한 값

단위: 없음

$n$

0부터 3까지의 표본 번호

단위: 없음

$n$	시간	1Hz 성분	2Hz 성분	합 $x_n$
$0$	$0\text{s}$	$\cos0=1$	$\cos0=1$	$2$
$1$	$0.25\text{s}$	$\cos(\pi/2)=0$	$\cos\pi=-1$	$-1$
$2$	$0.5\text{s}$	$\cos\pi=-1$	$\cos(2\pi)=1$	$0$
$3$	$0.75\text{s}$	$\cos(3\pi/2)=0$	$\cos(3\pi)=-1$	$-1$

따라서 네 번 기록한 입력은 $x=[2,-1,0,-1]$이다.

이제 목표가 분명해졌다. 현재 예제에서 1Hz와 2Hz로 만든 입력 표본이 푸리에 변환의 각 주파수 칸에 어떻게 나타나는지 확인한다.

숨은 반복을 찾으려면 주파수마다 기준 파동이 필요하다

합성 신호 안에 각 주파수 성분이 얼마나 들어 있는지 알아내는 기본 생각은, 각 후보 주파수와 같은 모양의 기준 파동을 하나씩 대어 보는 것이다. 입력 표본과 기준 파동의 같은 자리 값을 곱해 모두 더하면, 입력 표본이 해당 기준 파동의 주파수 패턴과 얼마나 일치하는지를 나타내는 Fourier coefficient(푸리에 계수) $X_k$가 나온다.

Discrete Fourier Transform(이산 푸리에 변환, DFT)는 여러 파동이 섞인 입력 표본을 주파수별 성분으로 나누는 계산이다.

푸리에 변환의 기준 파동은 코사인 값 하나가 아니라 실수부 $\cos\theta_{k,n}$와 허수부 $-\sin\theta_{k,n}$가 결합된 복소값이다. 아래 도구에서는 두 성분을 같은 시간축에 펼쳐 놓고 합성 표본과 곱한 뒤, 실수 방향과 허수 방향의 기여를 각각 더해 하나의 복소 푸리에 계수로 합친다.

검사할 복소 기준 파동

0Hz · 0바퀴k=0 · 0/T1Hz · 1바퀴k=1 · 1/T2Hz · 2바퀴k=2 · 2/T

같은 시간의 복소 기준값과 곱하기

합성 표본과 복소 기준 파동의 같은 시간끼리 곱합니다. 기준 파동은 입력의 구성을 몰라도 k와 N만으로 만들어집니다. 실수부 곱과 허수부 곱은 같은 범위의 두 차트로 나누어 표시합니다.

합성 함수와 표본실수부 Re(b)=cosθ허수부 Im(b)=-sinθ

부드러운 곡선은 파동의 모양을 읽기 위한 미리보기입니다. 실제 푸리에 계수는 강조된 4개 표본점만 곱해 더합니다.

복소 곱의 합

실수부 합 Re(Xₖ)

2 + 0 + 0 + 0 = 2

허수부 합 Im(Xₖ)

0 + 1 + 0 - 1 = 0

최종 푸리에 계수

X1 = 2

현재 위상 0인 1Hz+2Hz 예제에서는 허수 방향의 기여가 서로 상쇄되어 계수가 실수 방향으로 남습니다.

같은 시간의 복소값을 선택하기

카드를 선택하면 합성 표본, 기준 파동의 두 성분과 자리별 복소 곱이 같은 세로선에서 강조됩니다.

1. n=0 · t=0sxₙ=2bₖ,ₙ=1xₙbₖ,ₙ=2
2. n=1 · t=0.25sxₙ=-1bₖ,ₙ=-ixₙbₖ,ₙ=i
3. n=2 · t=0.5sxₙ=0bₖ,ₙ=-1xₙbₖ,ₙ=0
4. n=3 · t=0.75sxₙ=-1bₖ,ₙ=ixₙbₖ,ₙ=-i

각 주파수와 곱할 기준 파동의 표본값을 계산한다

앞에서는 복소 기준 파동의 실수부와 허수부를 같은 시간축에서 펼쳐 보고 합성 표본과 곱해 보았다. 이제 그 복소 기준 파동의 각 표본값이 어떻게 만들어지는지 계산한다.

$f_k$는 합성 신호에서 확인하려는 $k$번째 Fourier basis(푸리에 기저), 즉 기준 파동의 주파수다. 관측 시간 $T$ 동안 $k$바퀴 도는 파동이므로 $f_k=k/T$이고, 같은 관측 시간을 $N$개로 나누면 $n$번째 표본 시각은 $t_n=nT/N$이다.

$$\begin{aligned} f_k&=\frac{k}{T},\\ t_n&=\frac{nT}{N}. \end{aligned}$$

$f_k$

$k$번째 기준 파동이 1초 동안 반복하는 횟수

단위: $\text{Hz}$

$k$

관측 시간 $T$ 동안 기준 파동이 도는 바퀴 수

단위: 없음

$T$

전체 관측 시간이며 현재 예제에서는 1초

단위: $\text{s}$

$t_n$

합성 표본과 기준 파동을 함께 확인하는 $n$번째 시각

단위: $\text{s}$

$N$

관측 시간 안에서 얻은 전체 표본 수

단위: $\text{개}$

$n$

0부터 $N-1$까지의 표본 번호

단위: 없음

현재 페이지는 $T=1\text{s}$이므로 $k=1$은 1Hz 기준 파동이고 $k=2$는 2Hz 기준 파동이다. 표본 시각 $t_n$을 기준 파동에 대입하면 그때까지 진행한 누적 각도는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \theta_{k,n} &=2\pi f_k t_n\\ &=\frac{2\pi kn}{N}. \end{aligned}$$

$\theta_{k,n}$

$k$번째 기준 파동이 $n$번째 표본까지 진행한 누적 각도

단위: $\text{rad}$

$f_k$

$k$번째 기준 파동의 주파수

단위: $\text{Hz}$

$t_n$

$n$번째 표본 시각

단위: $\text{s}$

$k$

관측 시간 동안 도는 바퀴 수

단위: 없음

$n$

표본 번호

단위: 없음

$N$

전체 표본 수

단위: $\text{개}$

한 주파수 $k$에서 $n=0$부터 $N-1$까지 계산한 값을 순서대로 모으면 기준 파동의 전체 각도 목록이 된다.

$$\Theta_k= \left[ \theta_{k,0}, \ldots, \theta_{k,N-1} \right]$$

$\Theta_k$

$k$번째 기준 파동의 누적 각도 목록

단위: $\text{rad}$

$\theta_{k,n}$

$n$번째 표본에서 얻은 누적 각도

단위: $\text{rad}$

$N$

전체 표본 수

단위: $\text{개}$

아래 도구에서는 관측 시간 1초를 원 한 바퀴로 보고 현재 표본 수만큼 같은 간격으로 나눈다. $k$를 고르면 전체 각도 목록이 만들어지고, $n$을 누르면 화살표가 누적 각도만큼 시계 방향으로 이동한다. 한 바퀴를 넘은 누적 각도와 실제 원 위 도착 위치도 따로 확인할 수 있다.

1. 기준 파동의 주파수 fₖ 선택

0Hz · k=0T 동안 0바퀴1Hz · k=1T 동안 1바퀴2Hz · k=2T 동안 2바퀴

2. 관측 시간 T를 표본 시각으로 나누기

바깥 원은 시간 표본 n, 안쪽 마름모는 기준 파동이 도착하는 방향 m=(kn) mod N입니다.

3. k에 따른 각도 목록에서 n 선택

Θ1 = [0, π/2, π, 3π/2]

n=0 · 0sθ=0원 위치 0n=1 · 0.25sθ=π/2원 위치 π/2n=2 · 0.5sθ=π원 위치 πn=3 · 0.75sθ=3π/2원 위치 3π/2

4. 선택한 각도를 복소 기저값으로 바꾸기

n=1은 t=0.25초입니다. k=1 기준 파동은 π/2만큼 진행했습니다. 완성한 회전은 0바퀴이고, 현재 원 위 π/2에 도착합니다.

표본 시각

tₙ=1·1/4=0.25s

누적 각도

θₖ,ₙ=2π·1·1/4=π/2 (90°)

곱할 복소 기저값

$$\begin{aligned}b_{k,n}&=e^{-i\theta_{k,n}}\\&=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\&=-i\end{aligned}$$

완성된 기준 파동의 기저값 목록

B1 = [1, -i, -1, i]

1. n=01
2. n=1-i
3. n=2-1
4. n=3i

각도 목록을 곱할 복소 기저값 목록으로 바꾼다

정방향 DFT에서 사용하는 기준 파동은 누적 각도에 음수 부호를 붙여 시계 방향으로 돈다. 각 각도를 Euler's formula(오일러 공식)에 대입하면 합성 표본과 곱할 복소 기저값이 된다.

$$\begin{aligned} b_{k,n} &=e^{-i\theta_{k,n}}\\ &=\cos\theta_{k,n}-i\sin\theta_{k,n},\\ B_k &=\left[b_{k,0},\ldots,b_{k,N-1}\right]. \end{aligned}$$

$b_{k,n}$

$k$번째 기준 파동의 $n$번째 복소 기저값

단위: 없음

$\theta_{k,n}$

$k$번째 기준 파동이 $n$번째 표본까지 진행한 누적 각도

단위: $\text{rad}$

$i$

$i^2=-1$을 만족하는 Imaginary unit(허수 단위)

단위: 없음

$B_k$

$k$번째 기준 파동의 전체 복소 기저값 목록

단위: 없음

$N$

전체 표본 수

단위: $\text{개}$

기저값과 합성 표본을 곱해 푸리에 계수를 구한다

이제 연속 함수 $x(t)$ 전체를 한 번에 곱하는 것이 아니라, 같은 표본 번호 $n$에 놓인 합성 표본 $x_n$과 복소 기저값 $b_{k,n}$을 먼저 곱한다. 이렇게 얻은 $N$개의 자리별 곱을 모두 더한 값이 $k$번째 주파수의 Fourier coefficient(푸리에 계수) $X_k$다.

$$\begin{aligned} X_k &=\sum_{n=0}^{N-1}x_n b_{k,n}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-i\frac{2\pi kn}{N}}. \end{aligned}$$

$X_k$

$k$번째 주파수에서 모든 자리별 곱을 더한 푸리에 계수

단위: 입력 신호의 단위

$x_n$

합성 함수에서 얻은 $n$번째 표본값

단위: 입력 신호의 단위

$b_{k,n}$

$k$번째 기준 파동의 $n$번째 복소 기저값

단위: 없음

$k$

확인할 주파수 칸 번호

단위: 없음

$n$

같은 시간끼리 곱할 표본 번호

단위: 없음

$N$

전체 표본 수

단위: $\text{개}$

표본 4개 모드의 합성 표본은 $x=[2,-1,0,-1]$이다. 먼저 1Hz에 해당하는 $k=1$의 기저값 $B_1=[1,-i,-1,i]$와 같은 자리끼리 곱한다.

1Hz 기준 파동과 곱하기

$n$	합성 표본 $x_n$	기저값 $b_{1,n}$	자리별 곱 $x_nb_{1,n}$
$0$	$2$	$1$	$2$
$1$	$-1$	$-i$	$i$
$2$	$0$	$-1$	$0$
$3$	$-1$	$i$	$-i$

$X_1=2+i+0-i=2$

$i$와 $-i$가 서로 상쇄되고 실수 방향의 합 $2$가 남는다.

2Hz 기준 파동과 곱하기

$k=2$의 기저값은 $B_2=[1,-1,1,-1]$이다.

$n$	합성 표본 $x_n$	기저값 $b_{2,n}$	자리별 곱 $x_nb_{2,n}$
$0$	$2$	$1$	$2$
$1$	$-1$	$-1$	$1$
$2$	$0$	$1$	$0$
$3$	$-1$	$-1$	$1$

$X_2=2+1+0+1=4$

같은 모양에 놓인 음수 표본과 음수 기저값을 곱하면 양수가 되므로, 네 자리의 기여가 실수 방향으로 모인다.

$X_k$는 아직 표본 수의 영향을 제거하지 않은 자리별 곱의 합이다. 따라서 같은 파동이라도 표본 수 $N$이 달라지면 더하는 항의 수가 달라지고 계수의 크기도 달라질 수 있다.

푸리에 계수의 벡터 크기를 구하고 정규화한다

푸리에 계수 $X_k$는 실수부와 허수부를 가진 복소 벡터다. 이 벡터가 $k$번째 기준 파동 방향으로 얼마나 크게 모였는지는 실수부와 허수부로 만든 벡터의 길이 $|X_k|$로 나타낸다.

같은 파동을 더 많은 표본으로 기록하면 $X_k$에 더하는 항도 많아지므로 $|X_k|$가 커질 수 있다. 따라서 벡터의 크기 $|X_k|$를 표본 수 $N$으로 나누어 표본 수에 따른 차이를 제거한다. 이렇게 계수의 크기를 공통 기준으로 맞추는 과정을 Normalization(정규화)이라고 한다.

$$\begin{aligned} X_k &=\operatorname{Re}(X_k)+i\operatorname{Im}(X_k),\\ |X_k| &=\sqrt{\operatorname{Re}(X_k)^2+\operatorname{Im}(X_k)^2},\\[4pt] \text{정규화된 크기} &=\frac{|X_k|}{N} =\frac{\sqrt{\operatorname{Re}(X_k)^2+\operatorname{Im}(X_k)^2}}{N}. \end{aligned}$$

$X_k$

$k$번째 주파수에서 모든 복소 기여를 더한 정규화 전 푸리에 계수

단위: 입력 신호의 단위

$|X_k|$

$X_k$의 실수부와 허수부로 구한 정규화 전 복소 벡터의 길이

단위: 입력 신호의 단위

$\frac{|X_k|}{N}$

표본 수의 영향을 제거한 푸리에 계수 벡터의 정규화된 크기

단위: 입력 신호의 단위

$N$

평균을 계산할 전체 표본 수

단위: $\text{개}$

중요한 순서는 각 기여의 길이를 따로 더하는 것이 아니라 방향을 가진 복소 기여를 먼저 모두 더해 $X_k$를 만드는 것이다. 그다음 최종 벡터의 길이 $|X_k|$를 구하고, 그 크기를 $N$으로 나눈다. 따라서 $|X_k|/N$은 개별 기여 길이의 평균이 아니라 모든 기여가 상쇄·강화된 뒤 남은 벡터 크기를 표본 수로 보정한 값이다.

현재 1Hz의 자리별 복소 기여는 $[2,i,0,-i]$이므로 서로 반대 방향인 $i$와 $-i$를 먼저 상쇄한다. 그 결과 $X_1=2+0i$이고, 벡터의 길이는 $|X_1|=\sqrt{2^2+0^2}=2$다. 이 크기를 네 표본으로 나누면 정규화된 크기를 얻는다.

$\frac{|X_1|}{N}=\frac{|X_1|}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

여기서 얻은 $|X_k|/N$은 표본 수의 영향을 제거한 푸리에 계수 벡터의 크기다. 아직 최종 진폭은 아니며, 이 단계에서는 정규화된 크기까지만 확인한다.

정규화된 크기에서 원래 진폭을 구한다

나이퀴스트 주파수는 진폭표의 마지막 주파수다

Sampling rate(표본 추출률) $f_s$는 1초 동안 기록한 표본 수다. 표본만 보고 서로 다른 반복을 구별할 수 있는 주파수 범위의 끝이 Nyquist frequency(나이퀴스트 주파수)이며, 표본 추출률의 절반이다.

$$f_s=\frac{N}{T}, \qquad f_{\mathrm{Nyquist}} =\frac{f_s}{2} =\frac{N}{2T}.$$

$f_s$

1초 동안 기록하는 표본 수인 표본 추출률

단위: $\text{Hz}$

$f_{\mathrm{Nyquist}}$

표본으로 구별하는 주파수 범위의 끝인 나이퀴스트 주파수

단위: $\text{Hz}$

$N$

관측 시간 동안 기록한 전체 표본 수

단위: $\text{개}$

$T$

전체 관측 시간

단위: $\text{s}$

현재처럼 코사인 성분이 DFT 주파수 칸에 정확히 놓인 경우, 각 칸에서 복원할 진폭 $A_k$는 다음 식으로 계산한다.

$$A_k= \begin{cases} \dfrac{|X_k|}{N}, & k=0,\\[6pt] \dfrac{2|X_k|}{N}, & 0<k<\dfrac{N}{2},\\[8pt] \dfrac{|X_k|}{N}, & k=\dfrac{N}{2}\quad(N\text{이 짝수일 때}). \end{cases}$$

$A_k$

$k$번째 주파수에서 복구한 코사인파의 진폭

단위: 입력 신호의 단위

$|X_k|/N$

표본 수의 영향을 제거한 푸리에 계수 벡터의 크기

단위: 입력 신호의 단위

$k=0$

시간에 따라 값이 변하지 않는 $0\text{Hz}$ 성분

단위: 없음

$k=N/2$

표본 추출률의 절반에 해당하는 나이퀴스트 주파수 칸

단위: 없음

현재는 1초에 4개를 기록하므로 표본 추출률은 $4\text{Hz}$이고 나이퀴스트 주파수는 $2\text{Hz}$다.

1Hz는 $0\text{Hz}$와 $2\text{Hz}$ 사이에 있는 일반 주파수다. 위에서 구한 $X_1=2$를 사용하면 정규화된 크기는 $2/4=1/2$이고, 여기에 $2$를 곱해 원래 진폭 $1$을 얻는다.

$A_1=2\times\frac{|X_1|}{N}=2\times\frac{2}{4}=1$

2Hz는 현재 모드의 나이퀴스트 주파수다. 위에서 구한 $X_2=4$를 표본 수로 나누면 이미 원래 진폭 $1$이므로 $2$를 곱하지 않는다.

$A_2=\frac{|X_2|}{N}=\frac{4}{4}=1$

주파수	주파수 칸의 위치	$|X_k|$	$|X_k|/N$	추가 보정	진폭
$1\text{Hz}$	일반 주파수	$2$	$1/2$	$\times 2$	$1$
$2\text{Hz}$	나이퀴스트	$4$	$1$	없음	$1$

푸리에 계수로 각 주파수 성분을 분리한다

진폭 $A_k$만 알면 해당 주파수가 얼마나 크게 들어 있는지는 알 수 있지만, 파동이 어느 위치에서 시작하는지는 알 수 없다. 복소 푸리에 계수 $X_k$에는 크기뿐 아니라 방향도 있으므로, 그 방향에서 Phase(위상) $\phi_k$를 읽으면 하나의 위상 포함 코사인파로 해당 주파수 성분을 복원할 수 있다.

$$\begin{aligned} f_k &=\frac{k}{T},\\ \phi_k &=\operatorname{atan2}\left(\operatorname{Im}(X_k),\operatorname{Re}(X_k)\right),\\ A_k &=\frac{2\lvert X_k\rvert}{N} \quad\left(0<k<\frac{N}{2}\right),\\ x_k(t) &=A_k\cos\left(2\pi f_kt+\phi_k\right),\\ \widehat{x}_n &=x_{1,n}+x_{2,n}=x_n. \end{aligned}$$

$f_k$

$k$번째 주파수 성분의 반복 속도

단위: $\text{Hz}$

$k$

분리할 주파수 칸 번호이며 현재 예제에서는 $1$ 또는 $2$

단위: 없음

$T$

전체 관측 시간이며 현재 예제에서는 1초

단위: $\text{s}$

$\phi_k$

$X_k$의 실수부와 허수부 방향에서 구한 $k$번째 성분의 Phase(위상)

단위: $\text{rad}$

$A_k$

일반 주파수에서 복구한 $k$번째 코사인파의 진폭

단위: 입력 신호의 단위

$x_k(t)$

푸리에 계수의 진폭과 위상으로 복원한 $k$번째 연속 파동

단위: 입력 신호의 단위

$\widehat{x}_n$

분리한 1Hz 표본 $x_{1,n}$과 2Hz 표본 $x_{2,n}$을 다시 더한 값

단위: 입력 신호의 단위

$x_n$

원래 합성 신호의 $n$번째 표본

단위: 입력 신호의 단위

실수 신호의 일반 주파수는 서로 켤레인 $X_k$와 $X_{N-k}$가 한 쌍을 이룬다. 아래 도구는 한 주파수를 분리할 때 이 두 계수만 남기고 나머지 계수를 $0$으로 만든 다음 Inverse DFT(역 이산 푸리에 변환)를 적용한다. $0\text{Hz}$와 나이퀴스트 주파수는 자기 자신과 겹치므로 계수를 한 번만 사용한다.

현재 예제에서 $X_1$과 $X_2$는 모두 허수부가 $0$인 양의 실수이므로 두 위상은 $0^\circ$다. 따라서 분리한 파동은 각각 $x_1(t)=\cos(2\pi t)$와 $x_2(t)=\cos(4\pi t)$가 된다. 표본마다 두 값을 다시 더하면 원래 합성 표본 $x_n$과 일치한다.

1Hz 성분

푸리에 계수

X1 = 2

진폭

A1 = 2·2/4 = 1

계수에서 읽은 위상

φ1 = atan2(0, 2) = 0°

x1(t) = cos(2πt)

2Hz 성분

푸리에 계수

X2 = 4

진폭

A2 = 1·4/4 = 1

계수에서 읽은 위상

φ2 = atan2(0, 4) = 0°

x2(t) = cos(4πt)

현재 표본 수에서는 나이퀴스트 성분이므로 진폭에 2를 곱하지 않습니다.

원래 합성 신호복원한 1Hz복원한 2Hz

부드러운 곡선은 표본 사이의 파동 모양을 읽기 위한 미리보기입니다. 실제 분리와 재합성은 현재 4개 표본과 푸리에 계수로 계산합니다.

표본 4개 모드에서 2Hz는 나이퀴스트 주파수입니다. 따라서 DFT가 정확히 복원하는 대상은 표시된 표본점이며, 점 사이의 2Hz 곡선은 현재 위상 0 예제와 일치하는 모양 안내입니다.

같은 시각에서 분리한 값 다시 더하기

표본을 선택하면 1Hz와 2Hz의 값이 원래 합성 표본을 만드는 과정을 네 차트의 같은 세로선에서 확인할 수 있습니다.

1. n=0 · 0s1+1= 2
2. n=1 · 0.25s0+-1= -1
3. n=2 · 0.5s-1+1= 0
4. n=3 · 0.75s0+-1= -1

n=0, t=0초: 1Hz 1 + 2Hz 1 = 재합성 2 = 원래 표본 2

주의: 푸리에 변환은 관측하기 전의 연속 신호가 실제로 어떤 파동들의 조합으로 만들어졌는지까지 보장하지는 않는다. 대신 주어진 합성 표본을 정확히 재현하는 각 주파수 칸의 푸리에 계수 $X_k$를 계산한다. $X_k$의 크기와 방향에서 각 성분의 진폭과 위상을 구하고, 이 성분들을 다시 합하면 원래 합성 표본이 복원된다.